Главная > Математика > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Формула осреднения для пространства

Формула осреднения для пространства, соответствующая формуле (111,12,1), имеет следующий вид:

Здесь V, F и М означают средние объем, поверхность и кривизну ребер какой-то системы выпуклых тел среднее число которых равно А; далее, V, F и М суть те же величины для некоторого выпуклого тела V, двигающегося в пространстве как твердое тело, и, наконец, S — среднее число тел пересекающихся с V. Среднее значение 5 можно при этом определить совершенно аналогично плоскому случаю с помощью понятия кинематической плотности в пространстве. Также и вывод формулы получается в точности так же, как в случае плоскости с помощью основной кинематической формулы для пространства.

В качестве первого применения формулы (1) мы рассмотрим замощение пространства усеченным октаэдром с радиусом описанного шара 1. Здесь Заметим, что при этом вычисление М не требует определения двугранного угла усеченного октаэдра, так как согласно формуле где - длина ребра.

В соответствии с этими значениями величин мы имеем:

Отсюда посредством рассуждений, весьма близких к тем, которые применяются в случае плоскости, можно заключить, что для покрытия выпуклого тела с основными характеристиками V, F и М всегда достаточно

единичных шаров.

Обратимся теперь к плотнейшему решетчатому заполнению пространства единичными шарами. Здесь имеем

и, следовательно,

Если движущееся тело представляет собой внутреннюю параллельную оболочку ширины 2 некоторого выпуклого тела V, то все шары, пересекающие очевидно, расположены целиком внутри V. Отсюда следует, что число материальных шаров, которые можно поместить внутри выпуклого тела V, радиус вписанного тара которого не меньше 2, превосходит

(или, в крайнем случае, равно этой величине), где - три основные характеристики внутренней параллельной оболочки тела V ширины 2.

Для шара радиуса R это число равно

а для куба с длиной ребра а —

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление