Главная > Математика > Прикладная статистика: Исследование зависимостей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3.3. Асимптотика Колмогорова — Деева.

В практической работе часто — размерность вектора X и — число наблюдений суть величины одного порядка.

Например, в медицинских исследованиях при диагностике относительно редких заболеваний приходится работать с векторами размерности при выборках объема Ясно, что в этих условиях результаты типа (4.18), установленные в предположении, что распределение фиксировано, а вряд ли могут служить надежным обоснованием.

В последние годы получила распространение новая асимптотика, специально рассчитанная на многомерные задачи, в которых отношение не стремится к нулю. В этой асимптотике рассматривается последовательность (по некоторому параметру многомерных задач изучаемого класса. При росте (переходе в последовательности от одной задачи к другой) растут как , так и , причем их отношение стремится к пределу

В этой специальной асимптотике, которую мы в дальнейшем будем называть асимптотикой Колмогорова — Деева, нарушаются многие привычные свойства статистических процедур. Например, если X имеет многомерное нормальное распределение с нулевым вектором средних и независимыми координатами с дисперсией — независимая выборка объема , то квадрат длины вектора выборочного среднего

а не к 0, как это было бы в обычной асимптотике.

Достоинство новой асимптотики не в том, что в ней не обязательно верны многие общепринятые статистические процедуры, а в том, что полученные в ней предельные формулы, например для ошибок классификации многомерных объектов, исключительно хорошо работают даже при относительно небольших значениях .

Алгоритм Крускала оказывается устойчивым по отношению к новой асимптотике. Так, если равномерно по для некоторого

т. е. при переходе от одной задачи к другой в асимптотике Колмогорова — Деева по всем парам координат не приближается слишком быстро к единице, по существенным (ненулевого веса) связям не стремится слишком быстро к нулю, то (4.18) имеет место и в асимптотике (4.19). При этом выборочные значения коэффициентов корреляции совсем не обязаны удовлетворять соотношению (4.14), задающему свойство древообразности для нормальных распределений. Они только должны быть близки к теоретическим значениям коэффициентов, которые удовлетворяют (4.14).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление