Главная > Математика > Прикладная статистика: Исследование зависимостей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ВЫВОДЫ

1. При содержательной интерпретации взаимозависимостей между координатами случайного вектора целесообразно выделять связи прямые и опосредованные. Важным примером непосредственной связи является связь последовательных наблюдений в цепи Маркова. Связь наблюдений опосредуется через наблюдения

Для визуального представления зависимостей широко используются графы структуры зависимостей, в которых координаты вектора изображаются в виде вершин графа, а непосредственные связи между ними — в виде связывающих их ребер.

2. Понятие древообразной структуры зависимостей между координатами случайного вектора возникает как обобщение понятия марковости для совокупности случайных величин, лишенных временной упорядоченности. Говорят, что распределение имеет ДСЗ, если существует такая перестановка координат вектора (), что

где

3. Невырожденные -мерные нормальные распределения с ДСЗ имеют очень простой вид матрицы , где — ковариационная матрица координат вектора. В над главной диагональю стоит не более отличных от нуля элементов. Эта малопараметричность описания ковариационной матрицы в сочетании с большим разнообразием описываемых классов зависимостей, включающим, в частности, все ковариационные матрицы цепей Маркова, делает распределения с ДСЗ одним из основных инструментов в многомерном анализе.

4. Для распределений с ДСЗ при выполнении дополнительного условия, справедливого для всех невырожденных нормальных распределений, графы структуры зависимостей определяются однозначно с точностью до связей, соответствующих независимым координатам. С другой стороны, для этих распределений по графу структуры зависимостей восстанавливается, хотя и неоднозначно, естественный порядок координат, фигурирующий в определении распределений с ДСЗ.

5. Если известна корреляционная матрица невырожденного нормального вектора с ДСЗ, то по ней с помощью известного в теории графов алгоритма Крускала граф структуры зависимостей восстанавливается однозначно. Алгоритм Крускала, примененный к выборочной корреляционной матрице, оказывается состоятельным в асимптотике Колмогорова-Деева, специально рассчитанной на изучение ситуаций, когда число наблюдений вектора и его размерность суть величины одного порядка.

6. -распределения возникают как результат обобщения, с одной стороны, распределений с ДСЗ -распределений, а с другой — -зависимых марковских последовательностей. На -распределения удается перенести многие свойства распределений с ДСЗ.

7. Пусть А, В, С — непересекающиеся подмножества номеров координат, а — соответствующие наборы координат. Тройка называется марковской, если . Построены статистические критерии для проверки гипотезы, что заданная тройка — марковская. В случае когда X имеет невырожденное нормальное распределение, структурой связей X называется граф G, вершинами которого являются номера координат X, а ребрами — соединяющие их дуги и для которого выполняется условие, что для каждой марковской тройки : а) любая цепь в G из i в проходит через В и б) для каждого существует цепь в G из i в проходящая через k. Вся информация в координатах относительно координаты содержится только в , где — вершины графа G, смежные с вершиной i. Ребрам графа G соответствуют отличные от нуля частные коэффициенты корреляции между i и при фиксированных остальных координатах вектора X. Этот факт можно использовать для нахождения графа структуры связей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление