Главная > Математика > Прикладная статистика: Исследование зависимостей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.5.3. Пассивные наблюдения.

В теоретическом плане регрессионная задача, определяемая (7.84) и условиями а) из оказывается существенно сложнее регрессионной задачи (7.83). Тем не менее ввиду своей актуальности она уже давно привлекла внимание статистикой. По-видимому, первая работа, посвященная задаче (7.84), появилась в 1901 г. [235] и содержала идею, лежащую в основе практически всех результатов, связанных с упомянутой задачей. Идея предельно проста: за оценки параметров в принимать те значения, при которых минимально суммарное расстояние точек от поверхности в легко интерпретируемой метрике, т. е.

где

Оценки (7.91) называют оценками метода наименьших расстояний. Ниже рассмотрен приближенный вариант этих оценок, позволяющий обойтись численными процедурами, развитыми для метода наименьших квадратов. Несложные вычисления приводят в линейном случае к простой формуле . В случае произвольной функции (но имеющей необходимое количество производных) и при ошибках удовлетворяющих условиям а) из п. 7.5.2, имеет место приближенная формула

где

Определим оценки следующим образом:

Введем функции

Пусть выполняются условия а)—д) из п. 7.5.2 с очевидной заменой на и на и дополнительно существует предел

тогда в рамках приближения (7.92):

1) оценка (7.93) и сильно состоятельна и асимптотически-нормальна, т. е.

где

2) сильно состоятельными оценками матриц являются соответственно матрицы

Ряд полезных результатов, описывающих поведение «приближенных» оценок в рамках исходной модели (7.91), обсуждается в [81].

При подсчете оценок (7.93) оказывается удобным введение фиктивных наблюдений и отклика

Для минимизации функции

можно обратиться к любой программе нелинейного мнк. Обычно в этих программах в качестве оценки ковариационной матрицы используется матрица где

Можно показать, что при почти наверное, т. е. является заниженной оценкой дисперсионно-ковариационной матрицы .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление