Теория Галуа
 |
М.М. Постников. Теория Галуа. М.: Изд-во Физ-мат. литературы, 1963. - 220 с. Эта книга представляет собой переработанный и значительно расширенный вариант книги автора «Основы теории Галуа», выпущенной в свет Физматгизом в 1960 г. При переработке автор стремился сохранить элементарный характер книги, так что от читателя по-прежнему требуется владение лишь основами высшей алгебры в объеме действующей программы первого курса университетов. К сожалению, автор был лишен возможности пополнить книгу упражнениями. Как и в «Основах теории Галуа», задачи, включенные в текст книги, совершенно тривиальны и предназначены исключительно для самоконтроля читателя. |
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕI. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
2. Некоторые важные типы расширений
3. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраических расширений
4. Алгебраичность конечных расширений
5. Строение составных алгебраических расширений
6. Составные конечные расширения
7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым
8. Поле алгебраических чисел
9. Композит полей
ГЛАВА 2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
1. Определение группы
2. Порядки элементов
3. Подгруппы, нормальные делители и факторгруппы
4. Гомоморфные отображения
ГЛABA 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа
3. Порядок группы Галуа
4. Соответствие Галуа
5. Теорема о сопряженных элементах
6. Группа Галуа нормального подполя
7. Группа Галуа композита двух полей
II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах
2. Нормальные ряды
3. Циклические группы
4. Разрешимые и абелевы группы
5. Группы Zn и Mn
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
1. Простые радикальные расширения
2. Циклические расширения
3. Радикальные расширения
4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа
5. Уравнения, разрешимые в радикалах
ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок
§ 2. Разложение подстановок в произведение циклов
3. Четные подстановки. Знакопеременная группа
4. Строение знакопеременной и симметрической групп
5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа
6. Обсуждение полученных результатов
ГЛАВА 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ n >= 5
1. Поле формальных степенных рядов
2. Поле дробностепенных рядов
3. Группа Галуа общего уравнения степени n
4. Решение уравнений низших степеней
III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
ГЛАВА 1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ
2. Сопряженные группы подстановок
3. Вычисление группы Галуа произвольного многочлена
4. Пример: уравнения, группы Галуа которых содержатся в знакопеременной группе
5. Уравнения третьей и четвертой степени
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
1. Транзитивные группы подстановок
2. Транзитивные группы простой степени
3. Транзитивные группы пятой степени
4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения пятой степени
5. Определяющий многочлен для метациклической группы
6. Случай уравнений в нормальном виде
7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах
8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному виду
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ
2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям
3. Доказательство теоремы А
4. Мультипликативная группа классов по примарному модулю
6. Группы Галуа примарных круговых расширений
6. Доказательство теоремы В
ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
1. Строение полей деления круга простого показателя
2. Решение уравнений деления круга
3. Прием Гаусса
4. Уравнение деления круга на 17 частей
ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
2. Примарные группы
3. Пифагоровы расширения
4. Некоторые конкретные задачи на построение