Главная > Разное > Теоретические основы проектирования компьютерных сетей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.7.2 Многоканальные системы без буфера для ожидания

Пусть имеется параллельных идентичных обслуживающих устройств (каналов), буфер для ожидания отсутствует. Входящий поток является простейшим с интенсивностью , а время обслуживания запроса в канале характеризуется функцией распределения с конечным средним.

Сначала рассматриваем случай, когда распределение B(t) - показательное распределение с параметром

Запрос, пришедший в систему и заставший хотя бы один канал свободным, немедленно занимает любой из свободных каналов и начинает обслуживаться. Если все каналы в момент поступления запроса заняты, он теряется, то есть покидает систему навсегда, не оказывая никакого влияния на ее дальнейшее функционирование.

С исследования этой модели А.К. Эрлангом и ведет свой отсчет теория СМО. Практическая важность модели обусловлена тем, что она довольно адекватно описывает функционирование пучка телефонных каналов, на который поступает поток запросов на установление соединения.

Рассмотрим случайный процесс - число запросов в рассматриваемой системе в момент Нетрудно убедиться, что процесс является процессом гибели и размножения с параметрами:

Параметр (в отличие от предыдущего подраздела) определим здесь как соотношение интенсивности входящего потока и интенсивности обслуживания одним прибором:

Можно показать, что в силу конечности пространства состояний процесса стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе

существует при любых конечных значениях интенсивностей входящего потока и обслуживания запросов.

Утверждение 17. Стационарные вероятности определяются следующим образом:

(1.104)

Справедливость этого утверждения следует из Утверждения 9.

Следствие. Вероятность потери произвольного запроса имеет вид

Эта формула, называемая В-формулой Эрланга, играет весьма важную роль в телефонии. С ее помощью можно вычислить вероятность потери запросов (блокировки каналов) при фиксированном числе каналов, интенсивности входящего потока и интенсивности обслуживания запросов. Можно решать также двойственные задачи, например, расчет необходимого числа каналов или допустимого потока запросов, исходя из заданной максимально допустимой вероятности потери запроса.

В процессе использования В-формулы Эрланга было замечено, что вероятность отказа, вычисленная по формуле (1.105), очень хорошо согласовывалась со значением этой же вероятности, вычисленной как средняя доля потерянных запросов в реально функционирующей системе. Это казалось несколько странным, поскольку вероятность (1.105) подсчитывается в предположении, что входящий поток является простейшим, а распределение времени обслуживания - показательное. И если хорошее качество аппроксимации потоков информации в телефонных сетях простейшим потоком может быть объяснено с учетом Утверждения 7, то нечувствительность вероятности отказа к виду распределения времени обслуживания вызывала вопрос. Наиболее вероятное значение показательно распределенной случайной величины есть 0, что плохо согласуется с реальной статистикой длительности телефонных разговоров.

Поэтому усилия многих специалистов в области СМО были направлены на доказательство инвариантности вида (1.105) вероятности потери запроса относительно вида функции распределения времени обслуживания при фиксированном значении среднего времени обслуживания. Строгое доказательство этого факта принадлежит Б.А. Севастьянову, который установил, что распределение вероятностей состояний системы M|G|n|0 действительно инвариантно относительно распределения времени обслуживания запросов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление