Главная > Разное > Теоретические основы проектирования компьютерных сетей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5.2 Постановка и решение задачи оптимизации

Стоимость сети S как функция вектора задается следующим образом:

Здесь - стоимостные коэффициенты; а - некоторые неотрицательные коэффициенты нелинейности.

Производительности центров обслуживания (интенсивности выходящих из центров сообщений) в замкнутых экспоненциальных сетях пропорциональны друг другу, поэтому под производительностью сети А можно понимать производительность одного из центров сети (например, первого).

Задача оптимизации замкнутой однородной сети МО состоит в максимизации производительности сети при стоимости, не превосходящей заданной, или минимизации стоимости сети при производительности не ниже заданной. Легко показать [87], что максимум производительности сети не может достигаться внутри области ограничения на стоимость, и, следовательно, должно выполняться равенство , где S - ограничение на стоимость сети МО. Аналогично минимальная стоимость сети достигается при выполнении ограничения на производительность в виде равенства

Таким образом, задача оптимизации замкнутой экспоненциальной сети МО может быть сформулирована в одной из следующих постановок.

Постановка 1. Найти

при ограничении

Постановка 2. Найти

при ограничении

Функции - выпуклые [274], поэтому любой локальный максимум задачи в постановке 1 является также и глобальным максимумом; любой локальный минимум в постановке 2 является также и глобальным минимумом.

Оптимальное решение задачи (2.55), (2.56) будем искать методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа , где - множитель Лагранжа. Взяв частные производные и приравняв их к нулю, получим

Используя (2.47), (2.51) и (2.56), имеем

Для исключения разделим уравнение на первое. Тогда с учетом ограничения (2.56) получим:

Подставляя из (2.59) в (2.60), получаем окончательно систему нелинейных уравнений относительно переменных

Вектор и i являющейся решением системы уравнений (2.61), (2.62), доставляет максимум целевой функции при выполнении ограничения .

Решая аналогичным образом задачу в постановке 2, получаем

Отсюда после подстановки (2.47), (2.51) имеем

Разделим уравнение на первое. Тогда с учетом формулы (2.29) и ограничения (2.58) получим окончательно:

Таким образом, задача оптимизации замкнутой однородной сети МО сведена к решению системы нелинейных уравнений (2.61), (2.62) или (2.63), (2.64), которое находится известными методами. Пример такого решения приводится в следующем пункте.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление