Упражнения

1. Найдите на плоскости точки, изображающие комплексные числа

2. Пусть даны положительное действительное число а и комплексное число с. Найдите множество точек плоскости, которые изображают комплексные числа , удовлетворяющие условиям:

3. Решите уравнения:

4. Покажите, что для любых комплексных чисел гг и выполняется равенство Выясните геометрический смысл этого равенства

5. Решите систему уравнений:

6. Решите уравнения (в поле комплексных чисел):

7. Докажите, что в поле комплексных чисел имеется только один отличный от тождественного автоморфизм, переводящий действительные числа снова в действительные.

8. Докажите, что каждое числовое кольцо содержит подкольцо целых чисел.

9. Пусть -множество всех квадратных матриц второго порядка вида с действительными а и b. Докажите, что алгебра типа (2, 1, 2, 0), где суть обычные операции над матрицами и есть поле, изоморфное полю комплексных чисел.

10. Пусть К — множество всех комплексных чисел вида с целыми тип. Покажите, что алгебра является областью целостности (целостным кольцом). Это кольцо называется кольцом целых гауссовых чисел.

11. Опишите подполе поля комплексных чисел, порожденное числом i и рациональными числами.