§ 9. Конечно порожденные абелевы группы

1. Подгруппы конечно порожденных абелевых групп.

Пусть G — аддитивно записанная абелева группа с конечным числом образующих .

Тогда все ее элементы представляются в виде

с целыми , причем такая запись может быть неоднозначной из-за наличия соотношений между образующими.

Теорема 1. Подгруппа конечно порожденной абелевой группы конечно порождена, и ее образующие можно выбрать так, чтобы их число было не больше числа образующих группы.

Доказательство. Пусть G — абелева группа с образующими и Н — ее подгруппа. Доказательство проведем методом математической индукции по числу образующих. Для групп с одним образующим , т. е. для циклических групп, теорема верна, ибо всякая подгруппа конечной или бесконечной циклической группы сама циклична и порождается элементом с наименьшим натуральным k. Допустим, что теорема верна для подгрупп группы, порожденной меньше чем образующими, и в этом предположении докажем ее для подгрупп группы с образующими.

Рассмотрим элемент с наименьшим натуральным коэффициентом Покажем, что для любого коэффициент делится на . С этой целью выполним деление с остатком: и положим откуда заключаем, в силу минимальности что так что . Обозначим через подгруппу G, порожденную . Тогда . Группа Н является подгруппой группы G, имеющей образующий. В силу индуктивного предположения, Н конечно порождена и образующие можно выбрать так, что их число не больше . Пусть — эти образующие (некоторые из них могут быть равны 0). Тогда при целых Поэтому — образующие группы и их число равно или меньше, если среди них есть нули. Теорема доказана.

2. Целочисленные унимодулярные матрицы.

Предложение 2. Для того чтобы матрица А с целыми элементами имела обратную тоже с целыми элементами, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Пусть А и имеют целые элементы. Из равенства следует, что но оба эти определителя — целые числа. Поэтому . Это условие и достаточно, ибо союзная с А матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения к элементам матрицы А, имеет целые элементы, а матрица получается из союзной делением на так что элементы — тоже целые числа.

Матрицы с целыми элементами и с определителем ±1, т. е. целочисленно обратимые, носят название целочисленных унимодулярных матриц.

3. Унимодулярная замена образующих конечно порожденной абелевой группы.

Предложение 3. Пусть образующие абелевой группы G и - целочисленная унимодулярная матрица. Тогда элементы , где

тоже составляют систему образующих группы G.

Доказательство. Пусть . Положим

Тогда элементы выражаются через с матрицей коэффициентов так что . Таким образом, образующие выражаются через с целыми коэффициентами, следовательно, и любой элемент группы G выражается через с целыми коэффициентами, т. е. составляют систему образующих группы

4. Свободная конечно порожденная абелева группа.

Абелева группа, имеющая образующие, не связанные соотношениями, называется свободной абелевой группой, а ее образующие, не связанные соотношениями, называются свободными образующими. Пусть — свободные образующие свободной абелевой группы F. Тогда любой элемент представляется через образующие

однозначно, ибо иначе между образующими было бы нетривиальное соотношение. Поэтому G есть прямая суммы бесконечных циклических групп:

Свободные образующие в свободной абелевой группе могут выбраны разными способами, однако их число не зависит от выбора образующих. Действительно, прямых слагаемых, изоморфных циклическим группам второго порядка), и потому равно порядку группы так что а вместе с ним и , получает инвариантное истолкование, не зависящее от выбора системы свободных образующих.

5. Вспомогательные предложения.

Предложение 4. Пусть — строка, составленная из целых чисел, и d — наибольший общий делитель чисел а . Существует такая целочисленная унимодулярная матрица, что

Доказательство. Применим индукцию по длине строки k. Базу для индукции дает случай . Пусть d — наибольший общий делитель чисел . Он допускает линейное представление . Возьмем матрицу , где

Матрица М унимодулярна, ибо

Далее, . Допустим теперь, что предложение доказано для строк длины . Тогда найдется целочисленная унимодулярная матрица порядка такая, что

где — наибольший общий делитель чисел . Пусть теперь . Тогда

Далее, наибольший общий делитель чисел равен d. Найдем целочисленную унимодулярную матрицу второго порядка такую, что Положим тоже целочисленная унимодулярная и Таким образом, матрица , очевидно, целочисленная унимодулярная, дает требуемое:

Предложение 5. Если числа в совокупности взаимно простые, то существует целочисленная унимодулярная матрица с первой строкой

Доказательство. В предположении взаимной простоты чисел будет так что существует целочисленная унимодулярная матрица М такая, что Тогда ) . Матрица целочисленная унимодулярная, а последнее равенство показывает, что ее первая строка есть .

6. Конечно порожденные абелевы группы без кручения.

Абелева группа называется группой без кручения, если она не имеет элементов конечного порядка.

Теорема 6. Конечно порожденная абелева группа G без кручения свободна, т. е. имеет свободную систему образующих.

Доказательство. Пусть — некоторая система образующих группы G Если она свободна, то вопрос исчерпан. Если же не свободна, найдется соотношение

Без нарушения общности коэффициенты можно считать взаимно простыми в совокупности, ибо если они не взаимно просты и их наибольший общий делитель , то

и

откуда

ибо G — группа без кручения. Числа же взаимно просты.

Возьмем целочисленную унимодулярную матрицу М с первой строкой и сделаем замену образующих посредством подстановки с этой матрицей:

Первый образующий равен 0, и его можно исключить из системы образующих. Таким образом, число образующих уменьшилось на 1. Если полученные образующие свободны — процесс окончен. Если не свободны, то тем же приемом можно еще уменьшить на 1 число образующих. Через конечное число шагов мы должны прийти к системе свободных образующих. Теорема доказана.

7. Конечно порожденные абелевы группы в общем случае.

Множество элементов конечного порядка конечно порожденной группы G образует, очевидно, подгруппу. Эта подгруппа, в свою очередь, конечно порождена и, так как ее образующие имеют конечные порядки, она конечна. Подгруппа элементов конечного порядка группы G называется ее подгруппой кручения.

Теорема 7. Факторгруппа конечно порожденной абелевой группы G по подгруппе кручения есть группа без кручения и, следовательно, свободная.

Доказательство. Пусть а — некоторый элемент факторгруппы , где — подгруппа кручения. Допустим, что при целом . Тогда, если , то . Все элементы подгруппы И имеют конечные порядки, следовательно, при некотором целям будет

Но это значит, что . Таким образом, не имеет элементов конечного порядка кроме нуля и является группой без кручения. Ранг группы как свободной абелевой группы называется также рангом группы

Теорема 8. Конечно порожденная абелева группа G разлагается в прямую сумму группы кручения И и свободной абелевой, группы с числом свободных образующих, равным рангу

Доказательство. Пусть свободные образующие группы Возьмем произвольно элементы . Элементы порождают свободную подгруппу F группы G, ибо каждое соотношение влечет за собой соотношения . Элементы группы F содержатся по одному во всех классах смежности, составляющих Согласно предложению из § 8, группа G равна прямой сумме Н и

Разумеется, разложение не однозначно, хотя подгруппа в G однозначно определена. Неоднозначность обусловлена тем, что элементы , выбираются внутри классов смежности произвольным образом.

Из всего сказанного следует, что конечно порожденная абелева группа G разлагается в прямую сумму циклических групп, примарных конечных и бесконечных. Число бесконечных прямых слагаемых равно, рангу группы G, порядки примарных конечных циклических прямых слагаемых определены группой G (точнее, ее подгруппой кручения) однозначно. Эти порядки носят название коэффициентов кручения группы G. Задание ранга и коэффициентов кручения определяет группу G с точностью до изоморфизма. Для любых наперед заданных значений ранга и коэффициентов кручения существует соответствующая абелева конечно порожденная группа.