ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Определения и простейшие свойства

1. Скалярное произведение.

В обычной геометрии на плоскости и в пространстве существеннейшую роль играют метрические понятия, связанные с измерением. К. ним относятся длина отрезка и угол между прямыми. В векторной терминологии это длина вектора и угол между векторами. Длина вектора не является линейной функцией от вектора и угол между векторами не является лниейной функцией от одного из векторов при фиксированном втором. Несмотря на это, из длин двух векторов и угла между ними при помощи действий, далеких от линейности, можно построить так называемое скалярное произведение векторов, являющееся билинейной функцией от векторов, т. е. линейной по каждому из векторов при фиксированном втором. Именно, скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин и косинуса угла между ними. Билинейность почти очевидна на основании определения. Действительно, скалярное произведение векторов х и у равно длине вектора х, умноженной на величину ортогональной проекции вектора у на направление вектора х, а проекция линейной комбинации векторов на любое направление равна такой же линейной комбинации проекций. Таким образом, скалярное произведение оказывается линейной функцией от у при фиксированном и, в силу симметрии, линейной функцией от х при фиксированном у. Тем самым скалярное произведение векторов с точки зрения алгебры проще длины вектора и угла между векторами. В свою очередь, эти величины просто выражаются через скалярное произведение. Именно, квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на себя. Косинус угла между векторами равен частному от деления скалярного произведения на произведение длин.

Все сказанное дает основания при введении метрических понятий в теорию многомерных вещественных пространств отталкиваться от понятия скалярного произведения.

Дадим определения.

Скалярным произведением (х, у) векторов вещественного векторного пространства называется функция от векторов х, у с вещественными значениями, удовлетворяющая требованиям:

1) линейности по первому аргументу

2) симметрии

3) положительной определенности

Из линейности по первому аргументу и симметрии следует и линейность по второму аргументу:

Далее, длиной вектора х называется . В следующем пункте будет доказано неравенство которое делает осмысленным определение угла образованного векторами посредством формулы

Вещественное конечномерное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством. Бесконечномерное пространство со скалярным произведением называется предгильбертовым. (Оно называется гильбертовым, если обладает свойством полноты как метрическое пространство, т. е. если любая последовательность вложенных замкнутых сфер с безгранично убывающими радиусами имеет общую точку. В функциональном анализе устанавливается, что предгильбертово пространство всегда может быть пополнено до гильбертова.)

В комплексном пространстве тоже вводится скалярное произведение как функция (х, у) от двух векторов х и у с комплексными значениями и удовлетворяющая следующим требованиям:

1) линейности по первому аргументу

2) симметрии с переходом к сопряженному

3) положительной определенности

Заметим, что из первых двух требований следует инволюционная (т. е. с переходом к сопряженным в коэффициентах) линейность по второму аргументу:

(распространенные в последние годы прилагательные «полулинейная» в смысле «линейная с инволюцией» и тем более «полуторалинейная» в смысле «билинейная с инволюционной линейностью по второму аргументу» мне представляются малоудачными).

Из условия симметрии уже следует, что есть вещественное число, ибо , условие положительной определенности добавляет к вещественности числа еще и положительность.

Так же, как в вещественном случае, принимается за квадрат длины вектора . Понятие угла между векторами в комплексном пространстве не вводится.

Конечномерное комплексное пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим поставленным требованиям, называется унитарным пространством. Бесконечномерные пространства имеют название комплексных предгильбертовых и, в случае полноты, — комплексных гильбертовых пространств.

2. Неравенство Коши.

Известное под этим названием (в более конкретной обстановке) неравенство доказывается для вещественных и для комплексных пространств одним и тем же приемом. Проведем доказательство для комплексного пространства. Если неравенство тривиально. Пусть Введем в рассмотрение вектор . Тогда и, следовательно, . Но . Следовательно,

Неравенство доказано.

3. Примеры.

Простейшими примерами евклидова и унитарного пространства являются арифметические пространства, т. е. пространства столбцов с вещественными элементами в евклидовом случае и с комплексными в унитарном, при скалярном произведении и, соответственно, .

Неравенство Коши для арифметического унитарного пространства имеет вид

Оно было установлено еще в гл. IV в качестве примера на применение теоремы Бине — Коши.

Примером предгильбертова пространства может служить пространство бесконечных последовательностей комплексных чисел, имеющих лишь конечное число ненулевых компонент. Скалярное произведение определяется как Эта сумма имеет лишь конечное число отличных от нуля слагаемых. Для того чтобы пополнить это пространство до гильбертова, нужно присоединить бесконечные последовательности со сходящимися рядами из квадратов модулей. Если и у — две такие последовательности, то применив неравенство Коши к отрезкам ряда - легко получим, что этот ряд абсолютно сходится. Его сумму и нужно принять за скалярное произведение. Так построенное пространство обозначается

Еще один важный пример предгильбертова пространства дают комплекснозначные непрерывные на данном промежутке функции со скалярным произведением Применение неравенства Коши в этой ситуации дает интегральное неравенство

Для пополнения этого пространства до гильбертова нужно присоединить функции с суммируемым (т. е. интегрируемым в смысле Лебега) квадратом модуля.

4. Евклидово и унитарное пространства в общем случае.

Пусть S — евклидово пространство и ей — некоторый его базис. Пусть и Тогда, в силу билинейности скалярного произведения, , где . В силу симметрии скалярного произведения так что матрица (называемая матрицей Грама для базиса ) симметрична. Далее, и, в силу требования при положительно определенная матрица (т. е. является матрицей положительно определенной квадратичной формы). В матричной форме скалярное произведение записывается в виде , где X и У — столбцы из координат векторов При преобразовании координат с матрицей С скалярное произведение в новых координатах X, Y запишется в виде так что матрица Грама преобразуется по формуле преобразования квадратичной формы: . В главе V (см. стр. 153 и 163) было установлено, что положительно определенная квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратов новых переменных, т. е. к квадратичной форме с единичной матрицей коэффициентов.

Следовательно, в евклидовом пространстве существует такой базис, в котором матрица Грама есть единичная матрица. Это значит, что при . Такой базис называется ортонормальным.

Пусть теперь — унитарное пространство и — его базис. Тогда , где X и Y — столбцы из координат , где — координаты векторов х и у в выбранном базисе. В этой ситуации матрица Грама эрмитово симметрична, ибо Скалярное произведение имеет вид , т. е. представляется в виде эрмитовой формы от с матрицей G. Эта форма является положительно определенной. При преобразовании координат с матрицей С матрица Грама преобразуется в где т. е. изменяется по формуле преобразования матрицы эрмитовой формы. Положительно определенная эрмитова форма может быть преобразована к сумме квадратов модулей новых переменных т. е. к эрмитовой форме с единичной матрицей. Следовательно и в этом случае существует ортонормальный базис со свойствами при .

В п. 6 это обстоятельство будет установлено без ссылки на алгебраическую теорию квадратичных и эрмитовых форм, но при помощи соображений довольно прозрачных при пользовании геометрической терминологией По существу же эти соображения почти равносильны преобразованию положительно определенных форм к каноническому виду.

5. Ортогонализация совокупности векторов.

Векторы u и v унитарного (или евклидова) пространства называются ортогональными, если . Из следует, что , так как . Из ортогональности u и v следует ортогональность при любых Нулевой вектор ортогонален любому другому. Верно и обратное утверждение:

Предложение 1. Если вектор v ортогонален, всёп векторам унитарного (евклидова) пространства, то он равен нулю.

Действительно, если вектор ортогонален всем векторам пространства, то он ортогонален самому себе, т. е.

Предложение 2. Попарно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.

Действительно, пусть попарно ортогональные ненулевые векторы, так что при Пусть Тогда откуда и, наконец,

Теорема 3 (об ортогонализации). Пусть — линейно независимая совокупность векторов в унитарном (или евклидовом) пространстве.

Исходя из нее, можно построить отличные от нуля попарно ортогональные векторы так, что

т. e. каждый вектор получается из посредством прибавления линейной комбинации предыдущих векторов

Доказательство. Применим индукцию по k. База индукции при тривиальна. Пусть теорема доказана для совокупности из вектора, и в этом предположении докажем для k. Будем искать в виде суммы и линейной комбинации уже ортогональных векторов

Приравняем нулю при . Получим:

откуда определяется однозначно: Выразим теперь через Получим

при некоторых . Остается показать, что . Но если бы то векторы были бы линейно зависимы.

Теорема доказана.

Процесс ортогонализации можно провести несколько иначе. Сначала построить векторы добавив к подходящие кратные так, чтобы стали бы ортогональны Затем построить векторы за счет добавления к из, и подходящего кратного вектора с тем, чтобы стали ортогональны к При этом ортогональность их сохранится. Процесс продолжается до конца.

В итоге векторы — это те же векторы что и в первом процессе. Заметим, что так осуществленный процесс ортогонализации точно воспроизводит процесс преобразования положительно определенной эрмитовой (или квадратичной) формы к каноническому виду.

Дадим еще одну интерпретацию процесса ортогонализации. Последовательность F вложенных подпространств называется флагом, если размерность каждого подпространства на единицу больше размерности предыдущего, так что . Базисом флага называется базис пространства включающий базисы всех подпространств, составляющих флаг, так что если — базис флага, то — базис — базис и т. д.

Пусть — базис флага F, и пусть

причем .

Тогда — ненулевой вектор в принадлежит и не является линейной комбинацией принадлежит и не является линейной комбинацией при всех . Следовательно, линейно независимы и образуют базис так что есть базис флага F. Ясно, что любой базис флага F связан с базисом формулами указанного вида.

Вернемся к теореме об ортогонализации. Примем исходную систему векторов за базис некоторого флага F. Тогда векторы после проведения ортогонализации составят базис того же флага, но составленный из попарно ортогональных векторов. Поэтому теорема об ортогонализации может быть сформулирована следующим образом:

Для любого флага существует ортогональный базис, т. е. базис, состоящий из попарно ортогональных векторов.

6. Ортонормальный базис.

Вектор в унитарном (или евклидовом) пространстве называется нормированным, если его длина равна 1. Любой отличный от нуля вектор можно умножить на некоторое число так, что в результате получится нормированный вектор. Действительно, пусть . Тогда Достаточно взять а таким, что

Так подобранное число а называется нормирующим множителем для вектора х. В унитарном пространстве нормирующий множитель определен с точностью до множителя с модулем, равным 1. В евклидовом пространстве нормирующий множитель определен с точностью до знака.

Ясно, что если векторы ортогональны, то и после их нормирования получатся ортогональные векторы.

Пусть теперь — какой-либо базис унитарного (или евклидова) пространства. Применив к нему процесс ортогонализации, придем к ортогональному базису. После нормирования всех базисных векторов придем к базису, составленному из попарно ортогональных и нормированных векторов . Такой базис носит название ортонормального. Для ортонормального базиса выполняются соотношения при так что матрица Грама для ортонормального базиса есть единичная матрица.

Скалярное произведение векторов в координатах в ортонормальном базисе имеет, очевидно, вид , т. е. точно такой же, как в арифметическом пространстве столбцов.

Тем самым установлен изоморфизм, с сохранением скалярных произведений, унитарного (или евклидова) пространства с арифметическим пространством столбцов.

7. Преобразование координат при замене ортонормального базиса.

Напомним, что матрица преобразования координат, с которой координаты векторов в базисе выражаются через координаты в базисе имеет своими столбцами координаты векторов относительно базиса

Допустим, чтоер — ортонормальные базисы унитарного (или евклидова) пространства. Векторы нормированы, следовательно, суммы квадратов модулей элементов столбцов матрицы равны 1. Далее, при так что суммы произведений элементов столбца на числа, сопряженные с элементами столбца, равны 0. Следовательно, матрица преобразования координат при замене ортонормальных базисов унитарна (ортогональна для евклидова пространства)

Ясно, что любая унитарная (ортогональная) матрица является матрицей преобразования координат при замене ортонормального базиса на некоторый тоже ортонормальный базис.