6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра.

Положим в формуле

что все сомножители равны, так что . Получим

При получается знаменитая формула Муавра:

Мы вывели эту формулу в предположении, что k — целое положительное число. Покажем, что она остается верной и при и при целом отрицательном k, считая для комплексных чисел, так как для вещественных, При формула превращается в верное равенство:

Положим теперь считая целым положительным. Тогда

Таким образом, формула Муавра оказывается верной при всех целых значениях к.