ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ

§ 1. Выражение симметрических пэлииов через основные

1. Лексикографическое расположение одночленов в полиноме.

Пусть — полином с коэффициентами из некоторой области целостности. Расположим его по убывающим степеням буквы Одночлены, содержащие в одинаковой степени, расположим по убывающим степеням буквы одночлены, содержащие в одинаковых степенях, расположим по убывающим степеням буквы и т. д. Одночлены расположатся в так называемом лексикографическом порядке, напоминающем расположение слов в словарях. Будем говорить, что предшествующий в лексикографическом порядке одночлен выше последующих. Из определения ясно, что одночлен выше одночлена в том и только в том случае, когда первая отличная от нуля среди разностей положительна.

Одночлен, который находится на первом месте при лексикографическом упорядочении, носит название высшего члена полинома.

Ясно, что если , то высшим членом полинома F является произведение на высший член полинома

Предложение 1. Высший член произведения двух полиномов равен произведению высших членов сомножителей.

Для это верно. Остается применить тривиальным образом математическую индукцию, учитывая замечание, предшествующее формулировке предложения.

Предложение 1 естественно распространяется на произведение любого числа полиномов.

2. Симметрические полиномы.

Полином называется он не изменяется при всех перестановках входящих в него букв. Примерами симметрических полиномов могут служить так называемые степенные суммы — суммы одинаковых степеней букв.

Особо важное место занимают так называемые основные или элементарные симметрические полиномы:

Полином называется моногенным, если все составляющие его одночлены получаются один из другого посредством перестановки букв. Очевидно, что каждый моногенный полином является симметрическим. Из определения симметрического полинома ясно, что если он содержит какой-либо одночлен, то он содержит все одночлены, получающиеся из него перестановками букв, и их сумма составляет моногенный полином. Поэтому любой симметрический полином есть сумма моногенных. Объединяя вместе моногенные полиномы одинаковой степени, получим, что любой симметрический полином есть сумма однородных симметрических полиномов.

3. Основная теорема теории симметрических полиномов.

Лемма. Показатели в высшем члене симметрического полинома образуют невозрастающую последовательность.

Доказательство. Пусть - симметрический полином и — его высший член. Нужно доказать, что Допустим противное, что при некотором i имеет место Переставив в одночлене местами мы получим одночлен который тоже содержится в F, в силу симметричности. Но построенный одночлен выше исходного, так как показатели при у них одинаковые, а показатель при во втором одночлене больше показателя а при в исходном. Мы пришли к противоречию с тем, что исходный одночлен был высшим. Это противоречие и дает доказательство леммы.

Теорема 2 (основная теорема теории). Любой симметрический полином может быть представлен в виде полинома от основных симметрических полиномов. Коэффициенты в таком представлении являются целочисленными линейными комбинациями коэффициентов исходного полинома.

Доказательство. Достаточно ограничиться рассмотрением однородных симметрических полиномов. Пусть — однородный симметрический полином и — его высший член. Допустим сначала, что коэффициенты F — целые числа. Подберем одночлен от основных симметрических полиномов так, чтобы высший член этого одночлена как полинома от совпал с .

Ясно, что высшие члены полиномов равны, соответственно .

Подходящим одночленом является

В силу леммы все показатели неотрицательны, так что этот одночлен является полиномом от . Его высший член равен

Число А, согласно предположению, целое, коэффициенты всех основных симметрических полиномов целые, следовательно, все коэффициенты полинома целые. Полином есть снова симметрический полином с целыми коэффициентами, но его высший член будет ниже высшего члена полинома F, ибо при вычитании высшие члены уменьшаемого и вычитаемого взаимно уничтожились. Процесс повторяется. Из полинома вычитается полином результате получается симметрический полином снова с целыми коэффициентами и со старшим членом еще ниже Процесс не может продолжаться без конца, ибо одночленов фиксированной степени (и тем более таких, которые могут быть высшими членами симметрических полиномов), каждый из которых ниже предыдущего, может быть лишь конечное число. Процесс может оборваться только на том, что при очередном вычитании получится 0.

Итак,

Все коэффициенты будут целыми числами.

Теперь снимем предположение о том, что коэффициенты исходного полинома были целыми числами. Представим полином в виде суммы моногенных и в каждом моногенном слагаемом вынесем за скобки коэффициент, общий для всех его членов. В скобках останется полином с коэффицеинтами 1, и его представление через основные полиномы будет иметь целые коэффициенты, а, следовательно, коэффициенты в представлении данного моногенного слагаемого будут целыми кратными коэффициента его одночленов. Из различных моногенных слагаемых могут возникнуть подобные члены в их представлениях через основные, и, после приведения, получится полином от с коэффициентами, являющимися целочисленными линейными комбинациями коэффициентов исходного полинома.

Теорема доказана полностью.

Эти же идеи позволяют доказать единственность представления симметрического полинома в виде полинома от основных симметрических полиномов.

Предложение 3. Отличный от нуля полином от основных симметрических полиномов отличен от нуля и как полином от

Доказательство. Пусть причем среди слагаемых нет отличающихся только коэффициентом. Высший член одночлена как полинома от равен

Аналогично определяются высшие члены других одночленов. Различные одночлены имеют различные высшие члены, и самый высший из них получается лишь из одного одночлена и не имеет подобных среди членов других слагаемых. Поэтому , не равный нулю как полином от не может стать равным нулю как полином от

Отсюда непосредственно следует единственность представления симметрического полинома в виде полинома от основных, ибо если бы были два различных представления, разность представлений была бы отличным от нуля полиномом от основных симметрических полиномов, равным нулю как полином от что невозможно.

4. Примеры.

Рассмотрим несколько примеров.

1.

Первым членом представления через основные симметрические является . Ясно, что так что

2.

Первым членом представления является Во избежание громоздких вычислений применим следующий прием. Прежде всего выясним, какие показатели могут быть у высших членов симметрического однородного полинома третьей степени. Задача эта сводится к разбиению числа 3 на невозрастающие слагаемые. Таких разбиений три: . Поэтому представление однородного симметрического полинома третьей степени имеет вид . Нужно найти коэффициенты. Очевидно, что ибо таков коэффициент при . Таким образом,

Это равенство должно быть тождественным, т. е. сохраняться при всех значениях букв . Положим . Левая часть равна 2, правая равна , откуда . Положим теперь . В левой части будет 3, в правой , откуда . Итак:

3.

Этот пример нам понадобится в § 3.

Ясно, что F — симметрический полином и его высший член равен . Нам следует установить показатели высших членов, которые встретятся при представлении F в виде полинома от основных. Эти показатели должны составлять разбиения числа 6 на три или меньше невозрастающих слагаемых, причем эти разбиения должны быть лексикографически не выше разбиения . Такими разбиениями являются . Поэтому представление F через основные имеет вид

Зададим такими значениями для , чтобы в правой части были нули, но аннулировались бы не все слагаемые. Например, рассмотрим следующую таблицу значений:

Подставляя значения из этой таблицы, получим:

откуда

Итак,