1. Группа симметрий правильного треугольника.

Занумеруем вершины правильного треугольника числами 1, 2, 3 (рис. 24) и будем характеризовать каждое его самосовмещение перестановкой на множестве вершин треугольника

где — номер места, которое после выполнения преобразования заняла вершина . Центр правильного треугольника О является центром симметрии порядка 3, т. е. повороты на углы соответственно вокруг точки О против часовой стрелки переводят треугольник в себя.

Рис. 24

Рис. 25

Кроме того, имеется три осевых симметрии определяемых осями симметрии соответственно, проходящими через вершины правильного треугольника и середины его противоположных сторон (рис. 24). Принятое нами соответствие между самосовмещениями треугольника и перестановками множества вершин треугольника дает

Таким образом, группа симметрий правильного треугольника — это симметрическая группа 53.