Упражнения

1. Доказать, что произведение параллельных переносов снова будет параллельным переносом.

2. Изобразить преобразования, заданные таблицами, с помощью стрелочных схем и найти произведения этих преобразований;

а)

б)

в)

3. Доказать, что произведение симметрий относительно прямых, которые пересекаются, является поворотом.

4. Преобразования заданы графиками, Указать правило нахождения графика .

5. Если произведение преобразований конечного множества-перестановка, то — перестановки. Доказать это.

6. Если для заданного преобразования существует такое число что — тождественное преобразование, то — биекция, Доказать это (определение см. в § 6),

7. Решить уравнения:

а)

б)

8. Какие решения имеют следующие уравнения и сколько:

а)

б)

в)

г)

9. Пусть М — произвольное множество, — некоторое преобразование М. Правым (левым) обратным к называется такое преобразование а множества М, что (соответственно Докажите, что преобразование тогд и только тогда обладает правым (левым) обратным, когда инъективно (соответственно сюръективно),

Рис. 8

10. Если инъективно (сюръективно), то уравнение (5) (соответственно ) при любом преобразовании имеет решение (но, вообще говоря, не одно). Докажите это, используя упражнение 9.

11. Пусть сюръективно (инъективно). Докажите, что если уравнение (5) (соответственно ) имеет решение, то оно единственно, физкультурников выстроены в шеренгу по одному. Рассчитавшись на первого-второго, они сдваивают ряды. Стоящие во втором ряду, начийая с бывшего левофлангового, делаюг «обходной маневр» и переходят на правый край так, что левофланговый обращается в правофлангового (рис, 8). Считая, что номера на майках физкультурников соответствуют перед перегруппировкой их порядковым номерам в шеренге, найти перестановку, характеризующую расположение физкультурников в шеренге после трехкратной пере группировки,