§ 4.3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Определим площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные (максимальные и минимальные) значения; такие площадки условимся называть площадками сдвига. Для этого приравняем нулю первую производную. На основании формулы (7.3):

или

откуда

Здесь — угол наклона площадки сдвига к площадке, по которой действует напряжение Если угол положителен, то площадку, по которой действует напряжение для совмещения с площадкой, по которой действует экстремальное касательное напряжение, надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Формула (13.3) дает значения углов определяющие две взаимно перпендикулярные площадки, по одной из которых действует максимальное напряжение ттах, а по другой — минимальное . Из закона парности касательных напряжений следует, что

Сравнивая выражение (13.3) с выражением (10.3), устанавливаем, что

откуда

следовательно,

Таким образом, площадки сдвига наклонены к главным площадкам под углами, равными 45°.

Для определения величин за исходные примем главные напряжения . Подставив в формулу (7.3) значения получим

Подставив в формулу (14.3) значения по формулам (12.3), найдем

Определение экстремальных значений касательных напряжений и площадок сдвига производят обычно одним из следующих двух способов.

1. Если одновременно определяют также главные нормальные напряжения и главные площадки, то экстремальные касательные напряжения вычисляют по формулам (14.3) или (15.3). Положения площадок сдвига определяют по положениям главных площадок, к которым они всегда наклонены под углами Экстремальные касательные напряжения действуют в направлениях от к , как показано на рис. 7.3.

2. Если главные нормальные напряжения не определяются, то с помощью формулы (13.3) находят углы наклона площадок сдвига, а затем по формуле (7.3) или (15.3) вычисляют значения действующих по этим площадкам экстремальных касательных напряжений.

Рис. 7.3