§ 8.5. ИССЛЕДОВАНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КРУГА МОРА

Аналогия между моментами инерции сечений и плоским напряженным состоянием позволяет применить круг Мора, использованный выше при исследовании напряженного состояния (см. § 5.3), для определения осевых и центробежных моментов инерции при повороте системы координат.

Предположим, что для сечения, изображенного на рис. 21.5, а, определены моменты инерции Построим для этого сечения круг Мора, откладывая по оси абсцисс значения осевых моментов инерции , а по оси ординат значения центробежных моментов инерции (рис. 21.5,б).

На рис. 21.5, б координаты точки А определяют моменты инерции при горизонтальной оси z (рис. 21.5, а); в соответствии с этим проводим через точку А горизонтальную черту.

После поворота системы координат на угол 90°, например, против часовой стрелки, по отношению к заданному сечению, она занимает положение, показанное на рис. 21.5, в. При этом осевой момент инерции равняется моменту инерции относительно оси у, показанной на рис. 21.5, а, центробежный момент инерции по величине равняется центробежному моменту инерции относительно осей у и z, изображенных на рис. 21.5, а, но имеет обратный знак. Точка В на рис. 21.5, 6, соответствующая новому положению системы координат (показанному на рис. 21.5, в), имеет абсциссу, равную и ординату, равную Координаты точки В определяют моменты инерции при вертикальной оси (рис. 21.5, в); в соответствии с этим через точку В проводим вертикальную черту.

Соединив точки А и В прямой, на пересечении ее с горизонтальной осью получим точку О, из которой как из центра радиусом построим окружность — круг Мора (круг, инерции).

Продолжим черту, проведенную через точку А (или точку В) до пересечения с окружностью в точке С, являющейся полюсом круга Мора.

Для определения моментов инерции при любом положении системы координат уггх из точки С следует провести прямую, параллельную соответствующему положению оси . Абсцисса и ордината точки пересечения этой прямой с окружностью дадут соответственно значения отыскиваемых моментов инерции

Так, например, для определения значений и при положении системы координат показанном на рис. 21.5, г, параллельно оси проводим прямую СМ (рис. 21.5,б) до пересечения в точке М с окружностью. Абсцисса точки М определит искомую величину а ордината — величину

Рис. 21.5

С помощью круга Мора легко определяются главные моменты инерции и главные оси инерции. Точка 1 круга Мора (рис. 21.5, б) определяет главный момент инерции а точка 2 — главный момент инерции Луч показывает направление главной оси инерции максимум, а луч - оси минимум.