Кардиоида. Конхоиды

Говоря об эпициклоидах, мы считали до сих пор, что радиус неподвижного круга в несколько раз больше радиуса подвижного (производящего) круга. Но никто не может помешать нам рассмотреть и такую эпициклоиду, у которой подвижный круг равен неподвижному, т. е. такую, у которой . Такая эпициклоида называется кардиоидой. Итак, кардиоида — это траектория точки окружности, которая катится без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Кардиоида изображена на рис. 49 (жирная линия). Слово «кардиоида» значит по-гречески «сердцевидная».

Относительно касательной и нормали к кардиоиде говорить не приходится: ведь это — одна из эпициклоид , а потому обладает всеми свойствами, общими этим кривым. Заметим только, что в случае кардиоиды углы на рис. 49 равны.

Точно так же формулы для длины арки кардиоиды (она совпадает с длиной всей кривой) и для площади, ею ограниченной, получаются из формул на стр. 47—49 простой подстановкой Таким образом, получаем для кардиоиды:

площади изображены на рис. 50.

Рис. 49. Кардиоида.

Рис. 60. Площадь кардиоиды.

Тело, полученное от вращения кардиоиды вокруг ее оси симметрии ( на рис. 49), напоминает помидор (см. рис. 51); объем этого тела равен —

Кардиоида обладает следующим замечательным свойством. Соединим какую-нибудь точку кардиоиды с ее «острием» как это изображено на рис. 52.

Обратим внимание на точку К пересечения хорды с неподвижным кругом. Углы равны (об этом мы только что упоминали — см. рис. 49). Равны и радиусы Значит, хорда параллельна отрезку 001, соединяющему центры кругов. Точно так же Поэтому отрезок КМ равен отрезку , т. е. диаметру неподвижного (и подвижного) круга. Мы можем соединить точку (острие) с любой точкой кардиоиды, и всегда отрезок хорды, соединяющей острие и точку кривой, заключенный между точкой кривой и точкой К неподвижного круга, будет равен диаметру производящего круга.

Рис. 51. Тело вращения, порожденное кардиоидой.

Рис. 52. Замечательное свойство кардиоиды.

Рис. 53. Построение кардиоиды.

Отсюда получается следующее построение кардиоиды. Начертим окружность радиуса а с центром О и возьмем на ней произвольную точку (рис. 53). Через точку проведем пучок лучей (на нашем чертеже изображено 7 лучей; чем больше взять лучей, тем кривая получится точнее).

От точек пересечения лучей с окружностью отложим вдоль каждого луча в обе стороны отрезки, равные диаметру. Геометрическим местом полученных таким способом точек будет кривая, изображенная жирной линией. Часть ее, расположенная правее прямой АВ, на основании только что сказанного, представляет собою дугу кардиоиды. Попробуйте, читатели, доказать, что левая (штриховая) часть «жирной» кривой дополняет эту дугу до полной кардиоиды.

Рис. 54. Коихоида прямой линии.

Оставим на время кардиоиду и займемся следующей игрой. Пусть один из играющих станет на место, изображенное на рис. 54 точкой О, а остальные построятся перед ним в прямолинейную шеренгу, но каждый из них повернется так, чтобы смотреть прямо на своего командира. На чертеже играющие отмечены короткими черточками, а направление их взглядов — стрелочками. Если командир скомандует «кругом», а затем велит каждому сделать ровно десять шагов вперед, сохраняя направление, то шеренга расстроится: вместо прямой линии получится своеобразно изогнутая кривая. Эта кривая называется конхоидой Никомеда, по имени древнегреческого ученого, изучавшего ее.

Играющие могли расположиться сначала не по прямой линии, а по некоторой кривой. Важно, чтобы смотрели они прямо на командира и после команды «кругом» сделали поровну шагов.

И в этом случае получается кривая, которая также называется конхоидой. Греческое слово «конхоида» значнг «напоминающая раковину».

Дадим теперь точную геометрическую формулировку. пусть имеются некоторая кривая и точка О (Эту точку мы будем называть «полюсом»). Через точку О проведем пучок лучей и на каждом луче отложим равные отрезки в обе стороны от его точки пересечения с данной кривой. Геометрическое место концов этих отрезков дасг новую кривую, которую называют конхоидой исходной кривой относительно данного полюса. Обратим внимание на небольшое усложнение по сравнению с описанной только что игрой.

Рис. 55. Конхоиды различных кривых.

Там — играющие шли в одну сторону; здесь — отрезки откладываются по обе стороны от точек пересечения кривой с лучами. Поэтому всякая конхоида будет состоять из двух ветвей, которые, впрочем, иногда соединяются в одну кривую. Конхоида Никомеда (о которой говорилось выше и к которой нужно присоединить ее левую половину, изображенную на рис. 54 штриховой линией) является, таким образом, конхоидой прямой линии.

На рис. 55 изображены (штриховыми линиями) конхоиды различных кривых линий.

Читатель сообразит, что конхоидой окружности относительно ее центра будет пара окружностей, концентрических данной и одинаково удаленных от нее (рис. 55, посредине).

Вернемся теперь к кардиоиде. Мы без труда заметим, что кардиоида служит конхоидой окружности относительно точки, лежащей на окружности.

Рис. 56. Различные конхоиды одной и той же прямой.

Рис. 57. Кардиоида и «улитки».

Чтобы в этом убедиться, достаточно взглянуть на рис. 53.

Задавшись кривой линией и полюсом, мы можем получить не одну конхсиду, а целое «семейство» конхоид, меняя величину откладываемого отрезка. На рис. 56 изображено (разными штрихами) три конхоиды прямой линии АВ относшельно полюса О. (Каждая из них состоит из двух ветвей)

Если мы возьмем окружность и в качестве полюса точку на ней, то кардиоиду получим только в том случае, если будем откладывать отрезки, равные диаметру окружности. При других величинах откладываемых отрезков конхоидами будут удлиненные и укороченные кардиоиды. Эти удлиненные укороченные кардиоиды называются иначе улитка ни Паскаля. На рис. 57 изображены кардиоида (посредине) и пара «улиток».

Кардиоида имеет различные применения в технике. В форме кардиоиды делают эксцентрики, кулачки у машин. Ею пользуются иногда при вычерчивании зубчатых колес. Кроме того, она применяется в оптической технике.