Дальнейшие свойства циклоиды

После площади естественно заговорить о длине арки циклоиды и об объемах тел, порожденных вращением этой арки. Сначала поговорим об этих объемах.

Если арка циклоиды вращается вокруг своего основания, то она порождает поверхность, ограничивающую яйцевидное тело, изображенное на рис. 31.

Разбив это тело на бесконечно тонкие слои, вписав в эти слои цилиндрики (как это показано на нашем чертеже) и сложив их объемы, Роберваль получил объем всего яйцевидного тела.

Рис. 31. Яйцевидное тело вращения, порожденное циклоидой.

Не будем повторять его длинных, утомительных и не вполне строгих выкладок. В наше время высшая математика позволяет найти этот объем без труда.

Рис. 32. Репообразное тело вращения, порожденное циклоидой.

Сообщим готовый результат: объем тела, порожденного вращением арки циклоиды вокруг ее основания, равен Вычислена и поверхность этого тела: она равна т. е. более чем в 21 раз превосходит площадь производящего круга.

Роберваль рассматривал также другую поверхность, порожденную вращением циклоиды. Он строил зеркальное отражение арки циклоиды относительно ее основания, и овальную фигуру, образованную циклоидой и ее отражением, вращал вокруг оси КТ (рис. 32). Площадь порождаемой при этом поверхности вращения равна а объем репообразного тела, ею ограниченного, равен

Немного позже знаменитый физик Паскаль определил объемы и центры тяжести тел, образованных вращением частей циклоиды вокруг различных осей.

Рис. 33. Длина дуги циклоиды.

В 1658 году английский архитектор и математик Рен, строитель знаменитого купола собора св. Павла в Лондоне, определил длину дуги циклоиды. Его открытие произвело тем большее впечатление, что в то время задача вычисления длин дуг кривых линий казалась необычайно трудной и была решена буквально для единичных кривых (для окружности, параболы и некоторых спиралей). Дадим представление о том пути, по которому шел Рен, опуская подробности доказательства. Впоследствии мы еще вернемся к вычислению длины дуги циклоиды совершенно другим способом.

Рен исходил из механических соображений, напоминающих первые работы Торичелли и Роберваля. Он рассматривал поворот катящегося (производящего) круга на весьма малый угол а около точки Т (рис. 33). При этом центр круга перемещается из точки О в точку так что угол равен как раз . На тот же угол повернется хорда ТМ, причем точка М, описав маленькую дужку циклоиды, перейдет в точку

Мы будем вместе с Реном считать угол а столь малым, что дугу циклоиды невозможно отличить от дуги окружности радиуса ТМ с центром в точке Т. Значит, длину циклоидальной дужки мы будем считать равной (предполагается, что угол выражен в радианах). При этом мы сознательно допускаем ошибку, но эта ошибка будет тем меньше, чем меньше угол а, и в пределе ее влияние сгладится.

При этом малом повороте треугольник ОМТ перейдет в треугольник . Сторона ОМ повернется на тот же угол, что и сторона таким образом угол между ОМ и т. е. угол будет равен а.

Начертим теперь левее на круге радиуса ОТ с центром Р радиусы Угол очевидно, равен углу а. Хорда параллельна и равна отрезку касательной к циклоиде в точке М. Хорда не может сильно отличаться от отрезка касательной к циклоиде в точке — ведь при пере ходе от точки М к точке производящий круг смещается очень немного. Рен допустил (хотя это и связано с некоторой неточностью), что хорда равна отрезку касательной к циклоиде в точке

Угол есть вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол равный а; следовательно, Убыль длины хорды КНХ при переходе точки М в положение равна без чувствительной погрешности отрезку KL, который в свою очередь можно считать равным радиусу НК, умноженному на угол (выраженный в радианах), т. е. равным или

Этой убыли длины хорды производящего круга соответствует прирост дуги циклоиды, равный т. е., как мы уже говорили, равный Мы получаем следующий результат: при малом повороте производящего круга убыль длины хорды вдвое меньше приращения длины дуги циклоиды.

Это соотношение, конечно, не вполне точно; но если мы возьмем поворот производящего круга на 180°, разобьем его на весьма малые части («элементарные повороты» ), вычислим соответствующие убыли хорд и приращения дуг, вычислим сумму всех таких убылей и всех таких приращений и перейдем к пределу, — то увидим, что полная убыль длины хорды будет ровно вдвое меньше длины полуарки циклоиды.

При этом хорда меняется от (когда точка М занимает самое низкое положение) до О (когда точка М приходит в самое верхнее положение). Убыль длины хорды составляет , следовательно, длина полуарки циклоиды равна , а длича всей арки — .

Итак, «наводящие соображениям указывают, что длина одной арки циклоиды должна равняться восьми радиусам производящего круга. Результат неожиданный: ведь даже для длины такой простой кривой, как окружность, пришлось специально вводить иррациональное число вычислить которое не так просто. Длина же арки циклоиды выражается через радиус рациональным (даже целым) числом!

Чтобы придать нашим (вернее, реновским) наводящим соображениям доказательную силу, пришлось бы рассмотреть целый ряд вспомогательных теорем. Это сильно усложнило бы рассуждения и лишило бы их наглядности; поэтому мы эти детали опустили. Сам Рен выполнил их достаточно аккуратно.

Читатель, вероятно, обратил внимание на следующие обстоятельства. Все рассуждення, связанные с выводом формул площади циклоиды и длины ее арки, очень своеобразны и не похожи на соответствующие рассуждения в случае окружности. Если бы читатель взглянул на работы ученых XVII столетия, посвященные какой-нибудь другой кривой, например, параболе, он убедился бы, что их рассуждения тоже приспособлены к специальному сличаю и не похожа ни на те, которые связаны с окружностью, ни на те, с которыми мы встретились при изучении циклоиды. Общих методов не было, каждое исследование требовало новых, иногда очень хитрых, приемов.

С другой стороны, читателю, вероятно, не нравились постоянные указания на нестрогость доказательств. Доказательства различных теорем, данные учеными Возрождения, либо очень сложны и длинны, либо носят скорее облик наводящих рассуждений, чем строгих математических выводов. Очень часто используется механика, хотя и в те времена казалось желательным независимое от механики изложение геометрии.

А жизнь не ждала! Естествознание, техника, мореплавание, развиваясь, требовали единых геометрических методов, доступных широким кругам специалистов-прикладников, а не только Галилеям и Паскалям. И передовые ученые Возрождения все больше и больше интересуются не решением отдельных задач, а выяснением того, что же, собственно, объединяет их сложные и хитроумные решения? Кавальери, Декарт, Ферма, Тейлор и другие математики пытаются открыть общие методы решения задач, связанных с кривыми линиями и криволинейными фигурами. Кавальери высказывает принцип, известный в наше время любому десятикласснику. Декарт и Ферма изобретают аналитическую геометрию: в ее основе лежит связь между линией с одной стороны и уравнением с другой; простейшая форма этой связи в наше время изучается в VIII классе («Таблицы и графики»). Ферма, кроме того, изобретает общий прием исследования касательных к разнообразным кривым.

Все это завершается работами Ньютона и Лейбница, установившими замечательную связь между задачами на построение касательных к кривым линиям и вычислением площадей, ограниченных этими кривыми. Ньютон и Лейбниц разработали исключительно мощный и вместе с тем доступный метод решения многих геометрических и механических задач, разросшийся затем в стройную дисциплину, называемую математическим анализом (дифференциальное и интегральное исчисления). Но понадобилось еще полтораста лет, чтобы придать математическому анализу ту строгость и убедительность, с которыми неразрывно связано представление о математике.