Снова циклоида!

Напомним формулировку задачи о брахистохроне (кривой скорейшего спуска). По какому пути должна двигаться тяжелая часгица, чтобы под действием одной только силы тяжести прийти из А в В (рис. 105) в кратчайшее время? Это — совсем особая задача. В задаче Ферма требовалось найти определенное положение одной - единственной точки, для которой рассматриваемая величина (время) была наименьшей. В других задачах, подобных задаче Ферма, требуется найти какое-то одно значение некоторой величины, чтобы другая величина получила наибольшее или наименьшее значение. В задаче же Иоганна Бернулли (задачу о брахистохроне поставил, как мы помним, И. Бернулли) дело обстоит иначе, нужно найти положение не одной, и даже не десятка, а бесконечного множества точек, образующих непрерывную кривую линию.

Тут не только способ Ферма, но и возникшее во времена Бернулли дифференциальное исчисление не могло помочь. Вот почему решить задачу о бпяхи стохроне смогли только самые выдающиеся совпе менники Бернулли. 1

Решение Якоба Бернулли, наиболее совершенное из всех, все же не было вполне строгим.

Рис. 105 К задаче о брахистохроне.

Попытки улучшить это решение и сделать его применимым к другим задачам привели в следующем, восемнадцатом веке к созданию совершенно новой ветви математики — вариационного исчисления. Именно поэтому мы говорили на стр. 102, что задача о брахистохроне сыграла выдающуюся роль в истории науки.

Переходим к решению этой задачи, данному Якобом Бернулли. Он начал с того, что заменил трудную задачу большим количеством простых — элементарных задач. Разность высот точек А и В (рис. 105) он разделил на очень большое количество равных частей и через точки делення мысленно провел ряд параллельных плоскостей. Все пространство оказалось «расслоенным» на пласты. Если толщину каждого слоя обозначим через с, число слоев — через (на рис. см), то произведение будет, очевидно, равно всей величине h — разности высот точек А и В.

Допустим теперь, что скорость частицы меняется не непрерывно, а скачками — при переходе от слоя к слою. При этом в первом (сверху) слое она равна т. е. скорости, которую под действием силы тяжести частица приобрела бы в конце пути через первый слой.

Во втором слое она равна , т. е. равна той скорости, которую в конце второго промежутка частица имела бы и при естественном движении. Теперь ясно, какова должна быть скорость в любом слое. Так, например, в четвертом слое она будет и т. д. Частица будет двигаться под действием тяжести по ломаной линии, причем если велико (а толщина слоя, следовательно, мала), - движение будет очень близко к естественному движению по многоугольному желобку. Чтобы определить форму ломаной линии, дающей путь частицы в случае приближенного, «скачкообразного» движения, нужно определить все углы при вершинах этой ломаной.

Можно также определить углы, которые каждое звено ломаной образует с вертикалью: эти углы удобно обозначить через и т. д. Номер под альфой указывает, о каком слое идет речь (рис. 105).

Рассмотрим внимательнее поведение частицы на границе каких-нибудь двух слоев, например, пятого и шестого. Рассуждения и результат будут одинаковы и для любой иной пары смежных слоев. Чтобы время следования по пятому и шестому слоям было наименьшим, необходимо, чтобы синусы надлежащих углов относились как скорости в пятом и шестом слое (ведь здесь выполняются условия задачи Ферма, а стало быть, будет справедлив закон Снеллиуса в применении к частице). Итак, должно осуществляться равенство:

но потому

Повторив подобное рассуждение для всех пар смежных слоев, мы получим серию равенств:

Иными словами, отношение синуса угла между любым. звеном ломаной и вертикалью к соответствующему расстоянию слоя от верхней плоскости (от плоскости АН на рис. 105) есть величина постоянная. Искомая «ломаная кратчайшего времени» теперь полностью определена. Ее можно построить звено за звеном, начиная с первого.

Следуя Якобу Бернулли, мы допустим, что толщи на с слоев неограниченно уменьшается а число слоев неограниченно растет. Тогда ломаный путь в пределе перейдет в искомую кривую — в брахистохрону, — и задача будет решена.

Что при этом станет с направлением каждого звена ломаной? Оно перейдет в направление касательной к искомой кривой. Таким образом, в любой точке брахистохроны отношение синуса угла между касательной и вертикалью к корню квадратному из «высоты» (из расстояния от точки кривой до горизонтали АН) будет постоянным.

Но ведь это свойство характеризует как раз циклоиду! Вспомним теоремы 4 и 5 на стр. 26. Единственной кривой, у которой направление касательной в любой точке и расстояние от этой точки до данной прямой связаны таким соотношением, является наша старая знакомая! Ей мало быть таутохроной: она же оказалась и брахистохроной.

Решение Якоба Бернулли, разумеется, несовершенно. Не ясно, оправдан ли в этом случае предельный переход от ломаной линии к кривой. Есть и другие логические шероховатости. Но отказать Якобу Бернулли в исключительной изобретательности и остроумии никак нельзя. А развитие основной идеи этого решения и привело в XVIII веке к созданию вариационного исчисления.