Главная > Математика > Циклоида
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Геометрическое определение циклоиды

Теперь мы дадим определение циклоиды как геометрического места точек, не пользуясь механикой. Проще всего поступить так. Рассмотрим произвольную прямую АВ (будем условно считать ее направление горизонтальным) и на ней точку Далее рассмотрим всевозможные круги определенного радиуса, касающиеся этой прямой и расположенные по одну сторону от нее. На каждом круге от точки Т касания его с прямой АВ отложим (в направлении к точке ) дугу ТМ, по длине равную отрезку Геометрическое место точек М (взятых на всех упомянутых нами кругах) и будет циклоидой.

Неправда ли, какое тяжеловесное определение! Насколько нагляднее определение с помощью движения! А в сущности, ведь ничего не изменено. Просто слова из механики заменены словами из геометрии. Выиграли мы при этом очень много: мы говорили уже, что геометрические факты следует излагать, не опираясь на механику, чтобы избежать в дальнейшем «логического крута». Но многое мы и потеряли. Если бы мы захотели, пользуясь только этим определением, вывести свойства касательной и нормали к циклоиде, мы столкнулись бы с большими трудностями.

Недаром Торичелли и Роберваль не смогли их преодолеть и обратились к механике. Декарту в его чисто геометрическом изучении циклоиды помог им же открытый необычайно мощный метод геометрических исследований — метод координат.

Установим еще одно важное свойство циклоиды и попробуем именно его положить в основу изучения этой кривой.

Рассмотрим треугольник (рис. 21), образованный вертикальным диаметром производящего круга, касательной к циклоиде и нормалью к ней.

Рис. 21. Связь между «высотой» и наклоном касательной.

Угол как вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, т. е. равен у. Проведем и . Отрезок МЕ будет играть в дальнейшем значительную роль, поэтому дадим ему имя и обозначение: будем называть его «высотою» точки М циклоиды и обозначать буквою h. Итак, высота точки М циклоиды — это расстояние ее от направляющей прямой.

Обратим внимание на угол КМТ. Он равен углу (почему?). Из треугольника получаем:

а из треугольника ТКМ:

Сопоставляя эти результаты и замечая, что получим окончательно:

Мы выразили высоту точки М через угол между касательной в точке М и вертикалью (горизонталью мы по-прежнему считаем направление прямой АВ). Теперь выразим синус этого угла через «высоту». Получим, очевидно:

где через k обозначена постоянная для данной циклоиды величина Полученный результат изложим словами.

Теорема 4. Синус угла между касательной к циклоиде в точке М и вертикалью пропорционален корню квадратному из «высоты» точки М.

Этим свойством обладает, очевидно, любая циклоида. Возникает вопрос: в какой мере это свойство характеризует именно циклоиду: будет ли всякая кривая, обладающая этим свойством, непременно циклоидой?

Можно доказать, что это будет именно так, — что верна и следующая (обратная) теорема:

Теорема 5. Если даны прямая АВ и точка М, то единственной кривой, удовлетворяющей условиям теоремы 4 и проходящей через точку М, будет циклоида.

При этом радиус производящего круга этой циклоиды связан с коэффициентом k, о котором говорится в теореме 4, следующим соотношением:

(Разумеется, расстояние точки М от АВ должно быть меньше, чем )

Строгое доказательство этой теоремы средствами элементарной математики очень громоздко, и мы его приводить здесь не будем.

Теорема 5 — очень важная теорема. В физике и технике часто приходится разыскивать кривую, удовлетворяющую тем или иным данным условиям. Мы познакомимся в конце этой книжки с задачей, в которой требуется найти кривую линию, удовлетворяющую условиям теоремы 5. И в том, и во всех подобных случаях мы можем быть уверены, что искомая кривая — циклоида.

Если в условии теоремы 5 не оговорить, что искомая кривая проходит через наперед указанную точку М, то получится не одна, а бесконечное множество циклоид, которые получаются друг из друга параллельным сдвигом по направлению прямой АВ (одна из них проходит через точку М, другая — через третья — через и т. д.).

Рис. 22. Семейство циклоид.

Это множество, или, как его называют, семейство циклоид изображено на рис. 22.

Отметим еще одно, совершенно очевидное свойство циклоиды: ее арка симметрична относительно перпендикуляра, восставленного в середине основания арки. А затем перейдем ненадолго к другой замечательной кривой, которую изучал Роберваль; он назвал эту кривую спутницей циклоиды.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>