ГЛАВА IV. ЭВОЛЮТЫ И ЭВОЛЬВЕНТЫ

«Куда на выдумки природа таровата!» И. А. Крылов.

Развертка (эвольвента) кривой

Мы рассказывали уже (на странице 36), как английский ученый Рен вычислил длину арки циклоиды. Чтобы «наводящие» соображения Рена превратить в строгое доказательство, пришлось бы затратить слишком много труда. Прямой путь здесь слишком крут. Удобнее воспользоваться более длинным, но «пологим» путем: он быстрее приведет к цели. Этот окольный путь связан с особой кривой — тоже своего рода спутницей, — которая имеется у каждой плавной кривой, в том числе и у циклоиды. Эта «спутница» носит название развертки данной кривой.

Рис. 72 Развертка (эвольвента) кривой.

Рассмотрим выпуклую дугу АВ кривой линии (рис. 72). Представим себе, что к дуге АВ в точке А прикреплена гибкая нерастяжимая нить такой же длины, как сама дуга АВ, причем эта нить «навернута» на нашу кривую и плотно к ней прилегает, так что ее конец совпадает с точкою В.

Будем «развертывать» — распрямлять нить, держа ее натянутой, так что свободная часть СМ нити будет нее время направлена по касательной к дуге АВ. При этих условиях конец нити опишет некоторую кривую. Вот эта-то кривая и называется разверткой или, по-латыни, эвольвентой исходной кривой.

Рис. 73. Точка лерешба кривой и точка возврата эвольвенты.

Исходную кривую можно изготовить из жести или из толстой проволоки, прижать ее плотно к бумаге, а к концу нити привязать карандаш; тогда этот карандаш автоматически вычертит эвольвенту. Нужно только заботиться, чтобы нить, к которой привязан карандаш, все время была туго натянута.

Если дуга кривой не всюду выпукла в одну сторону, если она, подобно кривой АВ на рис. 73, имеет точку С, в которой касательная к кривой переходит с одной ее стороны на другую (такая точка называется точкой перегиба), то и в этом случае можно говорить о развертке кривой, но рассуждения придется немного усложнить.

Представим себе, что нить закреплена как раз в точке перегиба С (рис. 73). Нить, сматываясь с дуги ВС, опишет кривую BMP — развертку.

Теперь представим себе нить, намотанную на дугу АС исходной кривой, но эта ннть уже удлиненная: в точке С к ней привязан кусочек нити СР. Сматывая удлиненную нить АСР с кривой СА, мы получим дугу РНК, образующую вместе с дугой BMP единую непрерывную кривую — непрерывную, но не везде плавную: точке перегиба С исходной кривой будет соответствовать острие (точка возврата) кривой ВМРНК: кривая ВМРНК и будет эвольвен» той (разверткой) кривой ВСА.