Что же такое циклоида?

Начнем с опыта. Выпилим из фанеры или вырежем из толстого картона круг, у самого его края проколем шилом дырку и вставим в нее кусочек карандашного графта. Положив линейку на лисг бумаги, будем катить вдоль нее наш кружок, плотно прижимая его к бумаге.

Рис. 5. Пособие для демонстрации циклоиды

Кусочек графита и начертит нам циклоиду. На рис. 5 изображен демонстрационный прибор, которым пользуются на лекциях, когда говорят о циклоиде. У вертикальной черной доски сделана снизу горизонтальная закраина. По этой закраине катится массивный железный обруч, вроде тех, которые любят «гонять» малые ребятишки. В толще этого обруча имеется отверстие, и туда можно вставить кусок мела. Когда обруч катится по закраине, мел описывает циклоиду. Рис. 5 дает представление о форме этой красивой кривой линии.

Построим теперь циклоиду «по точкам». Постараемся сделать это возможно аккуратнее. Проведем (рис. 6) прямую АВ и у левого ее конца начертим круг радиуса а, касающийся нашей прямой АВ в точке К. Проще всего поступить так: на расстоянии а от прямой АВ провести прямую МР, ей параллельную (эта прямая все равно нам еще понадобится). Отметив недалеко от левого конца отрезка МР точку О, начертим окружность радиуса а с центром О.

Рис. 6. Построение циклоиды по точкам.

Эта окружность непременно коснется прямой АВ. Точку касания обозначим буквою К.

Теперь на прямой АВ отложим от точки К вправо отрезок, равный длине окружности радиуса а. Сделать это циркулем и линейкой точно, как известно, невозможно. Придется ограничиться приближенным построением. Если радиус круга равен а, то его окружность имеет длину т. е. приблизительно или 6,28 а. Допустим, что прямую МР мы провели на расстоянии 4 см от прямой АВ. Значит, у нас Поэтому нам придется отложить на АВ отрезок, равный т. е. 25 см и 12 мм. Конец отрезка обозначим

Предположим теперь, что начерченный нами кружок катится по прямой АВ. Центр его перемещается по прямой МР. Разделим отрезок 008, равный на восемь равных частей. Точка (первая точка деления) соответствует полного оборота. Когда центр О переместится в радиус ОК повернется на .

Строим угол равный 45°, и откладываем отрезок равный ОК. Точка должна принадлежать циклоиде. Штриховой линией изображено положение катящейся окружности, соответствующее полного оборота.

Рассмотрим теперь точку — центр круга, повернувшегося на окружности. Делаем построение точно такое, как в предыдущем случае, только угол строим равным Получим принадлежащую циклоиде точку Для построения следующей точки циклоиды при центре строим угол, равный 135°, и откладываем отрезок равный ОК.

Построение точек ясно. Точка совместится, очевидно, с точкою Соединив все полученные таким путем точки плавной кривою (от руки), мы и получим циклоиду. Читатель сообразит сам, как построить промежуточные точки, если полученная кривая покажется ему недостаточно плавной. Можно с самого начала делить основной отрезок (длину катящейся окружности) не на 8, а, например, на 12 частей. Тогда вместо углов, равных 45°, 90°, 135° и т. д., придется строить углы, равные 30°, 60°, 90°, 120° и т. д. (Советуем читателю поупражняться в построении циклоид разной величины, т. е. давая разные значения радиусу а, и с помощью различного числа вспомогательных точек деления.)

Заметим, что, подобно прямой линии, мы представляем себе циклоиду бесконечной кривой. Мы предполагаем, что круг (его называют производящим кругом) катится по прямой (направляющей прямой) неограниченно долю. При этом получится кривая, состоящая из бесконечного ряда арок (на нашем рис. 7 изображены две полные арки и часть третьей). Отдельные арки соединяются в точках (остриях), в которых имеют общую (вертикальную) касательную. Эти точки называются точками возврата циклоиды (рис. 8). Они соответствуют самым низким положениям той точки на катящейся окружности, за которой мы следим и которая описывает циклоиду.

Самые высокие положения находятся посредине между точками возврата; эти «наивысшие» точки называются вершинами циклоиды (на рис. 6 одна из вершин циклоиды находится в точке укажите все вершины на рис. 7). Отрезок прямой линии между двумя соседними точками возврата, равный называется основанием циклоиды (точнее — основанием одной арки циклоиды).

Рис. 7. Обший гид циклоиды.

Какие же задачи возникают при изучении циклоиды? Прежде всего, нужно дать ей чисто геометрическое определение, независимое от механикн.

Рис. 8. Элемент циклоиды (изображена одна арка).

Далее, нужно изучить ее свойства, научиться проводить к ней касательную, вычислять площадь, ограниченную аркой циклоиды и ее основанием, длину дуги, объем тела, образованного вращением арки циклоиды вокруг направляющей прямой. Попутно мы изучим кривые, родственные циклоиде, познакомимся с чисто геометрическими их применениями и с применениями в смежных областях. Но прежде чем перейти ко всему этому, сделаем короткий исторический обзор.