Эпициклоиды

От родных сестер циклоиды перейдем к двоюродным. Будем по-прежнему катить производящий круг, но покатим его не по прямой, а по окружности другого круга, снаружи. В зависимости от соотношения между радиусами неподвижного и подвижного (направляющего и производящего) кругов, будут получаться различные, хотя и родственные кривые.

Рис. 40. Эпициклоида с двумя заострениями.

Все эти кривые называются эпициклоидами («надциклоидами»).

Начнем обзор эпициклоид с того случая, когда радиус производящего круга вдвое меньше радиуса круга направляющего. В этом случае получится кривая с двумя остриями, — «точками возврата» — изображенная на рис. 40. Если «неподвижный» радиус больше подвижного в три, четыре или шесть раз, то получатся кривые, изображенные, соответственно, на рисунках 41, 42, 43.

Рис. 41. Эпищиклоида с тремя заострениями.

Рис. 42 Эпициклоида с четырьмя заострениями.

Рис. 43. Эпициклоида с шестью заострениями.

Те же ученые, которые изучили обыкновенную циклоиду, установили правила для построения касательной к различным эпициклоидам, а также метрические свойства эпициклоид (т. е. их свойства, связанные с измерением длины их арок, ограниченных ими площадей и т. д.). Выводы этих свойств очень похожи на соответствующие выводы для обыкновенной циклоиды; мы сообщим сразу готовые результаты.

Рассмотрим направляющий круг с центром О (рис. 44).

Рис. 44. Касательная и нормаль к эпициклоиде.

Пусть — точка возврата эпициклоиды с тремя заострениями (рассуждения почти не изменятся, если число заострений будет иным). Пусть, далее, — центр подвижного (производящего) круга (сам круг изображен на рис. 44 штриховой линией). Построим соответствующую этому положению производящего круга точку М эпициклоиды. Если угол мы обозначим через то угол нужно будет взять равным (качение, разумеется, рассматривается без скольжения). Центр движется в направлении, перпендикулярном к в этом движении принимает участие и точка М. Кроме того, точка М принимает участие во вращении около центра О. Точно те же соображения, что и в случае обыкновенной циклоиды, приводят к результату: касательная к эпициклоиде проходит через «наивысшую» (А), а нормаль — через «наинизшую» (В) точку производящего круга.

Радиус производящего круга будем, как и дня обыкновенной циклоиды, обозначать буквою а. У обыкновенной циклоиды число а вполне ее определяло (как, например, окружность вполне определялась своим радиусом). В случае эпициклоиды нужно указать еще олно число: именно, нужно указать, во сколько раз радиус неподвижного круга больше радиуса подвижного. Это число мы будем обозначать буквою п. У эпициклоиды с двумя заострениями у эпициклоиды с десятью заострениями и т. д. Для эпициклоид, изображенных на рис. 40, 41, 42, 43, числа соответственно равны 2, 3, 4 и 6.

При этих обозначениях для длины одной арки эпициклоиды с заострениями получается следующая формула:

Обыкновенная циклоида, подобно прямой линии, бесконечна, и потому нельзя говорить о полной ее длине.

Рис 45. Площадь, ограниченная эпициклоидой.

Эпициклоида, напротив, ограничена (как окружность). Поэтому, наряду с длиной ее арки, можно указать полную ее длину, которая, разумеется, в раз больше длины одной арки.

Длина всей эпициклоиды:

Точно так же, говоря о площади, можно дать формулу как для площади между одной аркой и неподвижным кругом, так и для всей площади, ограниченной замкнутой кривой — эпициклоидой (простая циклоида не была замкнутой кривой и никакой площади сама по себе не ограничивала).

Площадь между производящим кругом и одной аркой будем обозначать а полную площадь, охваченную эпициклоидой, S. Очевидно, S равно раз повторенной площади плюс площадь неподвижного круга.

Вот формулы для

На рис. 45 заштрихованы площади и S для случая

Сведем в одну табличку значения для различных значений , т. е. для эпициклоид с двумя, тремя и т. д. заострениями. При этом заметим, что подвижные круги для всех эпициклоид предполагаются одинаковыми, а неподвижные возрастают вместе с числом заострений.

Видоизменим немного условия, при которых порождается эпициклоида. Рассмотрим (рис. 46) круг с центром О и будем предполагать, что по этому кругу равномерно движется центр другого круга, равномерно вращающегося. Какую кривую опишет при этом точка окружности вращающегося круга?

Мы встречались с такой задачей в самом начале этой книжки, когда шел разговор о птолемеевой системе мира (стр. 14—16).

Действительно, указанное построение приведет нас к эпициклоиде Птолемея. Но будет ли птолемеева эпициклоида «настоящей» эпициклоидой? Нетрудно видеть, что нет. Нужно подобрать специально соотношение между скоростью очки О] и угловой скоростью вращення подвижного круга, чтобы получить настоящую эпициклоиду (попробуйте, читатель, сделать такой расчет). При другом соотношении между скоростями подвижный круг будет катиться по штриховому кругу (рис. 46) со скольжением, и вместо нормальных получатся укороченные или удлиненные эпициклоиды (рис. 47, а и 47, б).

Рис. 48. Пточемеева эпициклоида.

Вообразим теперь, что на неподвижный обруч (рис. 48) надет другой — подвижный — обруч, радиус которого в 2, 3, вообще, в раз больше радиуса не подвижного обруча.

Рис. 47. Укороченные и удлиненные эпициклоиды.

Говоря геометрическим языком, скажем, что неподвижная окружность изнутри касается подвижной. Кривая, которую описывает точка внешней окружности, катящейся по внутренней, называется перициклоидой.

Но говорить о свойствах перициклоид нет смысла: при более внимательном рассмотрении каждая перициклоида оказывается из которой эпициклоидой.

Рис. 48. Перициклоида.