2. Задача о резервировании ресурсов

Имеется всего одна отрасль производства и некоторый запас средств который можно вкладывать в производство не целиком, а частично резервировать. Если на шаге в производство вложены средства X, то они дают доход и уменьшаются до

Требуется рационально распределить имеющиеся и остающиеся средства на шагов так, чтобы суммарный доход за все шагов был максимален.

Нетрудно видеть, что эта задача сводится к предыдущей

Действительно, резервированные средства можно считать вложенными в какую-то фиктивную вторую отрасль, где они не тратятся, но и не дают дохода:

С учетом этого условия задача решается совершенно так же, как задача распределения ресурсов по неоднородным этапам. Геометрическая интерпретация задачи в фазовом пространстве показана на рис. 3.30.

Рис. 3.30

Рис. 3.31

Рассмотрим частный случай задачи о резервировании ресурсов, когда на всех этапах

т. е. вложенные средства расходуются целиком (рис. 3.31). Так как средства тратятся целиком, то каждый горизонтальный участок траектории доходит до самой оси ординат.

Поставленная задача сводится к отысканию максимума функции аргументов

где неотрицательны и ограничены условием:

Если доход (как это естественно предполагать) представляет собой неубывающую функцию вложенных средств X, то знак неравенства в формуле (6.1) можно отбросить, так как в этих условиях расходовать средства не до конца невыгодно.

Заметим, что некоторые простейшие задачи резервирования ресурсов допускают элементарное решение и без метода динамического программирования.

К ним принадлежит, нагтример, простейший случай, когда «функция дохода» на всех этапах одна и та же:

и средства расходуются полностью:

Рис. 3.33

Рис. 3.34

Нетрудно убедиться, что если функция дохода выпукла вниз (рис. 3.22), то выгоднее всего вложить все средства в какой-то один этап, а в остальные не вкладывать. Если же функция дохода выпукла вверх (рис. 3.33), то максимум дохода достигается при равномерном распределении средств между этапами: .