4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ ПО НАДЕЖНОСТИ ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ. НАДЕЖНОСТЬ НЕРЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ

Пусть некоторая техническая система S составлена из элементов узлов):

Допустим, что надежности элементов нам известны. Возникает вопрос об определении надежности системы. Она зависит от того, каким образом элементы объединены в систему, какова функция каждого из них и в какой мере исправная работа каждого элемента необходима для работы системы в целом.

В ряде систем недостаточная надежность элементов повышается за счет их дублирования (резервирования). Резервирование состоит в том, что наряду с элементом в систему вводится запасной (резервный) элемент на который система переключается в случае отказа основного элемента. Число резервных элементов может быть и более одного.

Самым простым случаем в расчетном смысле является простая система (или система без резервирования). В такой системе отказ любого элемента равносилен отказу системы в целом По аналогии с цепочкой последовательно соединенных проводников, обрыв каждого из которых равносилен размыканию всей цепи, мы будем называть такое соединение элементов «последовательным» (рис. 7.19). Следует оговориться, что «последовательным» такое соединение элементов является только в смысле надежности, физически же они могут быть соединены как угодно.

Выразим надежность простой системы через надежности ее элементов. Пусть имеется некоторый промежуток времени , в течение которого требуется обеспечить безотказную работу системы.

Тогда, если надежность системы характеризуется законом надежности нам важно знать значение этой надежности при , т. е. . Это не функция, а определенное число; отбросим аргумент и обозначим надежность системы просто Р. Аналогично обозначим надежности отдельных элементов

Для безотказной работы простой системы в течение времени нужно, чтобы работал безотказно каждый из ее элементов. Обозначим: — событие, состоящее в безотказной работе системы за время ; — события, состоящие в безотказной работе соответствующих элементов. Событие S есть произведение (совмещение) событий

Рис. 7.19

Предположим, что элементы отказывают независимо друг от друга (или, как мы будем говорить для краткости, «независимы по отказам», а совсем кратко «независимы»). Тогда по правилу умножения вероятностей для независимых событий

или в других обозначениях,

а короче

т. е. надежность простой системы, составленной из независимых элементов, равна произведению надежностей ее элементов.

В частном случае, когда все элементы обладают одинаковой надежностью

формула (4.2) принимает вид:

Пример 1. Простая система состоит из 10 независимых элементов, надежность каждого из которых равна Определить надежность системы.

Решение. По формуле (4.3).

Из примера видно, как резко падает надежность простой системы при увеличении числа элементов. Если число элементов велико, то для обеспечения хотя бы приемлемой надежности Р системы каждый элемент должен обладать очень высокой надежностью.

Поставим вопрос: какой надежностью должен обладать отдельный элемент для того, чтобы система, составленная из таких элементов, обладала заданной надежностью

Полагая в формуле получим!

Пример 2. Простая система состоит из 1000 одинаково надежных, независимых элементов. Какой надежностью должен обладать каждый из них для того, чтобы надежность системы была не меньше 0,9? Решение. По формуле (4.4):

Выразим интенсивность отказов простой системы через интенсивности отказов отдельных ее элементов. Имеем:

Подставим эти выражения в формулу (4.2); получим:

или, короче,

откуда

Дифференцируя (4.5) по t, получим

(4.6)

т. е. при последовательном» соединении независимых элементов интенсивности отказов складываются.

Это и естественно, так как для простой системы отказ элемента равносилен отказу системы, значит, все потоки отказов отдельных элементов складываются в один поток отказов системы с интенсивностью, равной сумме интенсивностей отдельных потоков.

Рис. 7.20

Пример 3. Простая система S состоит из трех независимых элементов (рис. 7.20), плотности распределения времени безотказной работы которых заданы формулами:

(рис. 7.21 — 7.23). Найти интенсивность отказов системы.

Рис. 7.21

Рис. 7.22

Рис. 7.23

Решение. Определяем ненадежность каждого элемента:

Отсюда надежности элементов:

Интенсивности отказов элементов:

Складывая, имеем: