11. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕ-ПУАССОНОВСКИМИ ПОТОКАМИ СОБЫТИЙ

Все рассмотренные до сих пор задачи теории массового обслуживания относились только к случаю, когда процесс, протекающий в СМО, представляет собой непрерывную марковскую цепь (марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем), другими словами, когда все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние (потоки заявок, обслуживаний, уходов и т. д.) являются пуассоновскими. Для получения предельных характеристик системы в установившемся стационарном режиме требовалось, чтобы эти потоки были не только пуассоновскими, но и простейшими (с постоянными интенсивностями).

Рис. 5.17

Рис. 5.18

На практике очень часто оказывается, что потоки событий, действующие в системе массового обслуживания, заметно отличаются от простейших. Особенно это относится к потоку обслуживаний. Действительно, мы знаем, что в простейшем потоке интервал времени между двумя соседними событиями распределен по показательному закону

(см. рис. 5.17). Очевидно, что время обслуживания заявки вовсе не обязательно распределяется по такому закону; напротив, гораздо более типичным является случай, когда закон распределения времени обслуживания отличен от показательного, и его наивероятнейшее значение не равно нулю (см. рис. 5.18).

В случае, когда закон распределения времени обслуживания отличен от показательного, все ранее рассмотренные методы описания процессов, протекающих в СМО, становятся, строго говоря, непригодными. В частности, нельзя записать ни линейных дифференциальных уравнений для вероятностей состояний, ни линейных алгебраических уравнений для предельных вероятностей. Математический аппарат исследования становится гораздо более сложным; аналитические формулы для характеристик СМО удается получить только для самых простых случаев.

Приведем (без доказательства) некоторые из полученных в этой области результатов.

1. СМО с отказами

Пусть на -канальную систему массового обслуживания с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью , а время обслуживания имеет произвольное распределение с математическим ожиданием

Доказано (см. [16]), что в этом случае формулы Эрланга для вероятностей состояний остаются справедливыми, а именно

где