3.1. Сходимость в смысле среднего квадратичного (СК-сходимость)

Определение 3.1. Пределом -мерного случайного процесса , при в смысле СК-сходимости называют случайный вектор и обозначают

если существует предел

где

евклидова норма -мерного случайного процесса .

Приняв за основу понятие СК-сходимости, мы тем самым определили выбор нормы [IV] для анализа случайных процес

В соответствии с этим, в данной книге ограничимся рассмотрением только таких случайных процессов, для которых указанная СК-норма является конечной. Случайные процессы, удовлетворяющие этому условию, называют случайными процессами второго порядка.

Таким образом, видим, что в основе понятия сходимости в смысле среднего квадратичного лежит понятие СК-нормы, которую мы ввели как неотрицательную скалярную функцию параметра Убедимся в том, что при любом фиксированном эта функция действительно определяет норму. Для этого рассмотрим множество -мерных случайных процессов второго порядка, определенных на Г С R, и будем считать, что случайные процессы из этого множества равны, если

В этом случае множество со стандартными операциями сложения своих элементов и их умножения на число является линейным пространством, а -мерный случайный процесс второго порядка , является нулевым, т.е. является нейтральным элементом линейного пространства если

Пусть теперь для любых двух элементов линейного пространства определена скалярная функция параметра

где — одномерная функция плотности вероятностей -мерного случайного процесса

Непосредственной проверкой читатель может убедиться в том, что при каждом фиксированном скалярная функция Удовлетворяет аксиомам скалярного умножения:

1) для любого имеет место неравенство

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда

2) для любых имеет место равенство

3) для любых имеет место равенство

4) для любых имеет место равенство

Так как линейное пространство с введенным скалярным произведением является евклидовым пространством, то при любом фиксированном норма может быть введена стандартным способом [IV]:

и при этом автоматически удовлетворяются все аксиомы нормы:

1) для любого имеет место неравенство

причем , тогда и только тогда, когда

2) для любых и имеет место равенство

3) для любых имеет место неравенство треугольника

Заметим, что СК-норма и порождающее ее скалярное произведение, введенное на линейном пространстве -мерных случайных процессов обладают известными свойствами [IV]. В частности, для любых выполняется неравенство Коши — Буняковского

Теорема 3.1. -мерный случайный вектор

является пределом -мерного случайного процесса

при тогда и только тогда, когда для любого случайная величина является пределом при скалярного случайного процесса

Необходимость. Обозначим через

проколотую -окрестность точки . Пусть существует

т.е. для любого существует такое, что

А так как для любого имеет место неравенство

то очевидно, что

Таким образом, из существования предела

следует существование пределов

Достаточность. Пусть для существует предел

т.е. для любых существует такое, что

Если

то

Таким образом, из существования пределов

следует существование предела

и теорема доказана.

Определение 3.2. n-мерный случайный процесс называют пределом последовательности -мерных случайных процессов и обозначают

если существует предел

где

Теорема 3.2. n-мерный случайный процесс , является пределом последовательности -мерных случайных процессов тогда и только тогда, когда для любого скалярный случайный процесс является пределом последовательности скалярных случайных процессов

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.

Как следует из теорем 3.1, 3.2, сходимость векторного случайного процесса и сходимость последовательности векторных случайных процессов эквивалентны сходимости координатных скалярных случайных процессов и их последовательностей. Поэтому далее основное внимание уделено скалярным случайным процессам.

Пример 3.1. Пусть — винеровский скалярный процесс, выходящий из нуля и имеющий единичный коэффициент диффузии. Пусть Покажем, что в смысле СК-сходимости существует предел

Согласно определению винеровского процесса, случайные величины , являются независимыми, имеют нулевые математические ожидания и дисперсии

А так как

то очевидно, что

Кроме того, случайная величина

распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а случайная величина распределена по закону Поэтому [XVII] и

Таким образом,

что и требовалось доказать.

Теорема 3.3. Если существует предел скалярного случайного процесса , второго порядка при , равный случайной величине то существует и предел скалярной функции при равный

Предварительно отметим два неравенства. Во-первых, верно неравенство

так как

Во-вторых, верно неравенство Шварца

которое можно рассматривать как неравенство Коши — Буняковского для скалярных случайных процессов второго порядка так как

Для доказательства теоремы запишем неравенства

По условию при случайный процесс сходится к случайной величине Следовательно, при правая часть неравенства, а как следствие, и его левая часть стремятся к нулю.

Таким образом,

откуда

Замечание 3.1. Можно показать, что для последовательности скалярных случайных процессов второго порядка из существования предела

следует существование предела

Теорема 3.4. Если — скалярный случайный процесс второго порядка и существует предел

то существует и предел

Пусть выполнены условия теоремы, т.е. существует предел

Согласно очевидному неравенству получаем

Воспользовавшись свойствами математического ожидания (см. П1, свойства а) и b) математического ожидания), приходим к неравенству

из которого и следует утверждение теоремы.

Замечание 3.2. Воспользовавшись определением 3.2 предела последовательности случайных процессов и техникой доказательства теоремы 3.4, можно доказать, что для последовательности случайных процессов второго порядка из существования предела

следует существование предела

Условия, сформулированные в теореме 3.4 и в замечании 3.2, являются не только необходимыми, но и достаточными условиями существования соответствующих пределов. Это следует из теоремы Фишера — Рисса, однако обсуждение этих вопросов выходит за рамки данного учебника. Они известны как стохастические критерии Коши для случайных процессов и для последовательностей случайных процессов.

Теорема 3.5. Пусть — скалярный случайный процесс второго порядка. Предел при существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел скалярной функции двух переменных при

Доказательство опирается на очевидное равенство

Пусть существует и конечен предел

тогда существует и конечен предел

Следовательно, существует и предел

Таким образом (см. стохастический критерий Коши), существует предел

Докажем обратное утверждение. Если существует предел то, согласно стохастическому критерию Коши, существует предел

Следовательно, существует предел

Отсюда следует существование конечного предела

так как — случайный процесс второго порядка.

Следствие 3.1. Для скалярного случайного процесса второго порядка предел

существует тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы

Для доказательства утверждения достаточно воспользоваться очевидным равенством

и обратиться к теоремам 3.3 и 3.5.