6.5. Системы массового обслуживания с ожиданием

При рассмотрении примера 6.2 мы уже столкнулись с необходимостью определения плотностей вероятностей переходов при разметке графа состояний простейшей одноканальной системы обслуживания. В дальнейших рассуждениях в качестве объекта исследований будем использовать систему обслуживания с ожиданием, имеющую идентичных каналов обслуживания и простейший поток с интенсивностью А, предполагая что время обслуживания и время ожидания — случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону с параметрами и v соответственно.

Предположим, что в момент времени t рассматриваемая система находилась в состоянии . Вероятность того, что за временной интервал бесконечно малой длительности она из состояния S, перейдет в старшее состояние зависит лишь от потока заявок, каждая из которых либо поступает в канал обслуживания, либо становится в очередь. А так как поток заявок является простейшим с интенсивностью , то вероятность того, что за время поступит одна заявка (вероятность перехода из состояния , в состояние ), согласно определению 6.1, равна

Следовательно,

Переход из состояния , в „младшее" состояние зависит лишь от освобождения каналов обслуживания. Если — интенсивность обслуживания, то функция распределения времени обслуживания определяется по формуле (6.13). Поэтому

и, следовательно,

Таким образом, при наличии лишь одного канала обслуживания плотность вероятности перехода в „младшее" состояние равна . Если занято каналов и ( — число каналов обслуживания), то в силу независимости их функционирования интенсивность обслуживания возрастает в раз, т.е.

При возникновении очереди каждое состояние рассматриваемой системы обслуживания характеризуется занятостью каналов обслуживания. Поэтому интенсивность освобождения каналов становится постоянной и равной Как только канал обслуживания освобождается, он немедленно приступает к обслуживанию следующей заявки из очереди и система переходит в „младшее" состояние. Такой переход может быть вызван также уходом из очереди одной залвки, если время ожидания превышает допустимое.

Закон распределения времени ожидания определяется интенсивностью и ухода из очереди при наличии в ней одной заявки (см. равенства (6.14), (6.15)). В силу независимости поступления заявок (см. определение 6.1 для очереди длины интенсивность, с которой заявки отказываются от обслуживания и уходят из очереди, равна Таким образом, плотность вероятности перехода системы из состояния в состояние равна сумме интенсивностей освобождения каналов обслуживания и отказа от обслуживания:

Проведенные рассуждения позволяют построить размеченный граф состояний рассматриваемой системы обслуживания (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Воспользовавшись этим графом и правилом построения системы уравнений Колмогорова, получаем

Если на длину очереди, т.е. на возможные значения , не накладывают ограничений, то линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений (6.17) является бесконечной.

Если в начальный момент времени рассматриваемая система обслуживания находилась в одном из своих возможных состояний то начальные условия для нее выглядят следующим образом:

Пример 6.4. Построим математическую модель одноканальной системы обслуживания с ожиданием, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью , если интенсивность обслуживания , количество мест в очереди ограничено числом т.е. заявка, поступившая в момент, когда в очереди уже находится N заявок, покидает систему.

В рассматриваемом случае система обслуживания имеет следующие возможные состояния:

— канал свободен;

— канал занят, но очереди нет;

— канал занят и в очереди находится j заявок, . При этом единственной причиной отказа от обслуживания является отсутствие места в очереди, и, значит, интенсивность ухода из очереди равна

Размеченный граф состояний исходной системы обслуживания, изображенный на рис. 6.5, позволяет записать систему уравнений Колмогорова на интервале если считать моментом начала функционирования системы

Для завершения построения математической модели достаточно задать начальные условия согласно (6.18).

Рис. 6.5