3.5. Действие линейного оператора на случайный процесс

Пусть скалярный случайный процесс

есть результат воздействия линейного оператора на исходный скалярный случайный процесс обладающий необходимыми свойствами (дифференцируемость, интегрируемость и т.д.). Если — это оператор умножения на неслучайную функцию, определенную на множестве Т, либо оператор дифференцирования, интегрирования или их композиция, то с учетом результатов, изложенных в 1.2, 3.3, 3.4, приходим к следующим равенствам:

(3.9)

При этом следует отметить, что равенства (3.9) могут быть получены непосредственно из определения математического ожидания и определения линейного оператора, которым также является и оператор математического ожидания.

Равенства (3.8), (3.9) являются весьма полезными при решении многих прикладных задач.

Пример 3.9. Пусть — дифференцируемый скалярный случайный процесс с известными математическим ожиданием и ковариационной функцией

Найдем математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса

где — неслучайные скалярные функции, определенные при .

В рассматриваемом случае оператор

является линейным и для решения исходной задачи можно воспользоваться равенствами (3.9). Таким образом,

А так как

то искомая ковариационная функция равна

Следует отметить, что если случайные процессы определены и связаны равенством (3.8), а линейный оператор является обратимым, то обратный оператор также является линейным оператором и в этом случае имеют место равенства, аналогичные равенствам (3.9).

Во многих технических дисциплинах широко используют понятие линейного динамического звена порядка, под которым понимают подсистему любой динамической системы, состояние которой адекватно описывает математическая модель, представляющая собой задачу Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка:

где — известные неслучайные функции, определенные при — известная неслучайная функция (входной сигнал). Если то линейное динамическое звено называют невозмущенным и функцию — его реакцией на входной сигнал. Если на вход линейного динамического звена поступает случайный процесс то реакция линейного динамического звена — случайный процесс и мы приходим к равенству

которое фактически является стохастическим дифференциальным уравнением, линейным относительно случайного процесса

Теория стохастических дифференциальных уравнений будет рассмотрена в гл. 7. А так как реакция линейного динамического звена на входной сигнал — удобный объект для иллюстраций, то в данной и последующих главах под стохастическим дифференциальным уравнением будем понимать равенство двух случайных процессов которое будем использовать для определения связей между их характеристиками.

Пример 3.10. Рассмотрим задачу Коши

которую можно записать в операторном виде

и интерпретировать как задачу о нахождении реакции невозмущенного (по начальному состоянию) линейного динамического звена первого порядка с параметром — непрерывная неслучайная функция при на входной сигнал который представляет собой скалярный случайный процесс с математическим ожиданием и ковариационной функцией

Определим математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса

В рассматриваемом случае [VIII]

Таким образом,

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [VIII] известно, что если — фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения

где — неслучайные непрерывные при функции, то решение задачи Коши

или в операторном виде

может быть представлено следующим образом [VIII]:

где

Если теперь рассмотреть задачу о реакции , невозмущенного (по начальному состоянию) линейного динамического звена порядка, параметрами которого являются неслучайные непрерывные при функции, на входной сигнал с характеристиками то приходим к задаче Коши

которую можно записать в операторном виде

Таким образом,

Как следует из проведенных рассуждений, исходная задача фактически сведена к нахождению функции зачастую называемой передаточной функцией линейного динамического звена. Если то для нахождения функции можно воспользоваться интегральным преобразованием Лапласа с параметром s. Действительно, в изображениях интегрального преобразования Лапласа

задача Коши (3.10) принимает вид

Таким образом,

Если при этом

то для получения окончательного результата достаточно воспользоваться теоремой о свертке [XI]:

В рассматриваемом случае

Пример 3.11. Найдем математическое ожидание и дисперсию реакции невозмущенного (по начальному состоянию) линейного динамического звена второго порядка:

на входной сигнал где — скалярный стационарный случайный процесс со следующими характеристиками:

где — известные постоянные, а

Следует отметить, что сформулированная задача может иметь различную интерпретацию. В частности, к подобной задаче сводится задача определения вероятностных характеристик бортовой качки корабля при волнении (угловые наклонения на правый и левый борт судна). В этом случае — угол наклона палубы корабля в момент времени — угол наклона касательной плоскости к поверхности моря в данной точке в момент времени относительно линии горизонта, ортогональной направлению киля корабля.

В рассматриваемом примере

Воспользовавшись соответствующими теоремами и таблицами интегрального преобразования Лапласа [XI], находим

Таким образом,

и можно записать решение исходной задачи:

Дальнейшие вычисления уже не вызывают трудностей, и мы их опускаем.