Задания для самопроверки

1. Что понимают под множеством? Какие множества называют: а) конечными; б) счетными; в) несчетными? Что называют диаметром множества в метрическом пространстве?

Что называют: а) объединением множеств; б) пересечением множеств; в) разностью множеств; г) дополнением множества? [I]

2. Дайте определение отображения (функции). Что называют: а) образом множества X при отображении f;

б) прообразом множества при отображении f? [I]

3. Какие функции называют: а) четными; б) нечетными;

в) периодическими; г) тригонометрическими? Запишите формулы Эйлера и докажите основные свойства тригонометрических функций. [I], [IX]

4. Что называют: а) скалярной функцией векторного аргумента; б) вектор-функцией; в) векторной функцией векторного аргумента; г) координатной функцией; д) бесконечно малой функцией? Как сравнивают бесконечно малые функции? [I], [II], [V]

5. Дайте определение предела: а) последовательности; б) функции. Сформулируйте признаки существования предела. Перечислите свойства функций, имеющих конечный предел. [I], [V]

6. Какую функцию называют непрерывной: а) в точке; б) на множестве? Перечислите основные свойства функций, непрерывных: а) в точке; б) на множестве. [I], [V]

7. Дайте определение дифференцируемой функции: а) в точке; б) в области. Что называют частной производной от скалярной функции векторного аргумента? Приведите формулировку теоремы о равенстве смешанных производных. [II], [V]

8. Для скалярной функции векторного аргумента запишите формулу Тейлора и сформулируйте условия ее применимости. [V]

9. Дайте определение локального экстремума (максимума и минимума) скалярной функции векторного аргумента. Сформулируйте необходимые и достаточные условия его существования. [V]

10. Дайте определение касательной плоскости к поверхности в заданной точке. При каких условиях касательная плоскость существует? [V]

11. Что называют определенным интегралом и какой геометрический смысл он имеет? Запишите формулу интегрирования по частям. Дайте определение те-кратного интеграла. [VI], [VII]

12. Что называют матрицей и что понимают под размером матрицы? Какую матрицу называют: а) квадратной; б) единичной; в) нулевой или нуль-матрицей; г) симметрической; д) диагональной; е) трехдиагональной; ж) невырожденной; з) блочной; и) положительно определенной; к) неотрицательно определенной; ортогональной? [III], [IV]

13. Сформулируйте основные свойства следующих операций над матрицами: а) сложение матриц; б) умножение матрицы на число; в) умножение матриц; г) транспонирование матрицы. Дайте определение обратной матрицы и укажите ее основные свойства. Какие матрицы называют коммутирующими (перестановочными)? [III]

14. Что понимают под следом матрицы А? Докажите следующие равенства, полагая, что все указанные матрицы квадратные одного порядка, а матрица D невырожденная симметрическая и имеет собственные числа

15. Дайте определение системы линейных алгебраических уравнений. Какую систему линейных алгебраических уравнений называют совместной? Сформулируйте условия существования и единственности решения системы линейных алгебраических уравнений. [III]

16. Дайте определение линейного пространства. Что называют: а) линейной оболочкой системы векторов линейного пространства; б) линейно (не)зависимой системой векторов линейного пространства;

в) базисом линейного пространства; г) размерностью линейного пространства? [IV]

17. Что понимают под скалярным произведением в линейном пространстве и что называют евклидовым пространством? Можно ли утверждать, что любое линейное пространство со скалярным произведением является нормированным пространством? Дайте определение ортонормированного базиса евклидова пространства и запишите формулу для скалярного произведения в этом базисе. [IV]

18. Запишите неравенство Коши — Буняковского. В каких случаях это неравенство обращается в равенство? [IV]

19. Что называют квадратичной формой? В каких случаях квадратичную форму называют: а) положительно определенной; б) отрицательно определенной; в) неположительно определенной; г) неотрицательно определенной? Изложите принципиальную схему приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. [IV]

20. Дайте определение линейного оператора. Какая связь существует между линейными операторами и матрицами? Дайте определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора. Изложите общую схему их нахождения. [IV]

21. Что называют линейным дифференциальным оператором и обыкновенным линейным дифференциальным уравнением? Дайте определение фундаментальной системы решений обыкновенного линейного дифференциального уравнения. [VIII]

22. Сформулируйте задачу Коши для: а) обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка; б) системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; в) системы уравнений в частных производных параболического типа. Сформулируй те теоремы существования и единственности решения этих задач. [VIII], [XII]

23. Что называют дифференциальным уравнением в частных производных: а) параболического типа; б) эллиптического типа; в) гиперболического типа? [XII]

24. Что понимают под смешанной задачей для уравнения в частных производных параболического типа? Изложите идею метода Фурье разделения переменных для решения смешанных задач. Сформулируйте задачу Штурма — Лиувилля. [XI], [XII]

25. Дайте определение устойчивости и асимптотической устойчивости решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. [VIII]

26. Что называют: а) интегральным преобразованием; б) оригиналом интегрального преобразования и его изображением; в) интегральным преобразованием Фурье; г) интегральным преобразованием Лапласа; д) сверткой оригиналов? Сформулируйте условия представимости функции интегралом Фурье. [XI], [IX]

27. Дайте определение числового ряда. Какой числовой ряд называют: а) знакоположительным; б) знакочередующимся; в) знакопеременным; г) сходящимся; д) сходящимся абсолютно; е) сходящимся условно? [IX]

28. Дайте определение функционального ряда. Какой функциональный ряд называют: а) сходящимся; б) абсолютно сходящимся; в) равномерно сходящимся? Перечислите основные свойства функциональных рядов, сходящихся: а) абсолютно; б) равномерно. [IX]

29. Что называют рядом Фурье функции f(x) в ? Сформулируйте условия Дирихле поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Что называют: ортонормированной тригонометрической системой функций? [IX]

30. Что понимают под: а) аппроксимацией; б) абсолютной погрешностью аппроксимации; в) относительной погрешностью аппроксимации? [XIII]

31. Запишите: а) формулу полной вероятности; б) формулу Байеса. Дайте определение полной группы событий. [XVI]

32. Какую случайную величину называют случайной величиной, распределенной по: а) нормальному закону; б) закону Пуассона; в) экспоненциальному закону; г) равномерному закону; д) логарифмически нормальному закону; е) закону -квадрат; ж) закону Стьюдента? [XVI], [XVII]

33. Приведите определения начальных и центральных моментов случайной величины. Для моментов первого и второго порядков приведите содержательную интерпретацию. [XVI]

34. Дайте определение сходимости последовательности случайных величин: а) по вероятности; б) почти наверное (или сильно); в) в среднем квадратичном. [XVI]

35. Что понимают под: а) случайными и систематическими ошибками измерений (наблюдений); б) реализацией случайной величины; в) выборочной статистикой? Как определяется: а) выборочное среднее; б) выборочная дисперсия; в) исправленная выборочная дисперсия; г) выборочная ковариация? [XVII]

36. Дайте определение оценки числовой характеристики случайной величины, полученной по данным случайной выборки. Как можно оценить ее качество? [XVII]

37. Что называют статистической гипотезой? Изложите общую схему проверки любой статистической гипотезы. [XVII]