8.2. Уравнения Колмогорова

Основная особенность марковских процессов связана с тем, что их условные функции плотности вероятностей удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных параболического типа. Это не только существенно упрощает процедуру нахождения но и позволяет найти решения многих задач прикладного характера.

Условная функция плотности вероятностей -мерного марковского процесса с непрерывными состояниями, рассматриваемая как функция параметров начального состояния и удовлетворяет уравнению

в котором векторная функция векторного аргумента

характеризует скорость изменения значений исходного случайного процесса. Матричная функция векторного аргумента

принимающая значения в множестве характеризует скорость изменения условной дисперсии этого случайного процесса.

В литературе часто называют вектором сноса и матрицей диффузии соответственно. Из неотрицательной определенности любой ковариационной матрицы и тождества (8.6) следует неотрицательная неопределенность матрицы диффузии.

Условная функция плотности вероятностей рассматриваемая как функция параметров конечного состояния удовлетворяет уравнению

Уравнения (8.4) и (8.7) называют первым и вторым уравнениями Колмогорова соответственно. Уравнение (8.7) называют также уравнением Колмогорова — Фоккера — Планка, поскольку оно встречалось в работах М.К. Планка, А.Д. Фоккера и других физиков еще до того, как его обосновал А.Н. Колмогоров.

Вывод уравнений Колмогорова (8.4), (8.7), приведенный ниже, весьма схематичен и реализован для скалярного марковского процесса при излишне жестких ограничениях. Но он позволяет уяснить как содержательный смысл самих уравнений, так и входящих в них параметров.

Вывод первого уравнения Колмогорова. Пусть , — скалярный марковский случайный процесс и — его условная функция плотности вероятностей.

В уравнении Маркова — Смолуховского — Чепмена — Колмогорова (8.2) при полагаем , где и записываем его в следующем виде:

Предположим, что условная функция плотности вероятностей как функция скалярного аргумента 2, в окрестности точки может быть разложена по формуле Тейлора:

где Тогда, согласно (8.8), получим

Учитывая, что в силу свойств условной функции плотности вероятностей

переносим первое слагаемое в правой части (8.9) в левую часть, делим обе части полученного равенства на А и переходим к пределу при Этот предельный переход возможен, если существует предел

В результате получаем первое уравнение Колмогорова (8.4) при в котором функции заданы соотношениями (8.5) и (8.6) соответственно.

Предположение (8.10) в сущности означает, что вероятность больших отклонений снижается при уменьшении причем все моменты случайной величины начиная с третьего, имеют порядок малости

В предельном переходе к уравнению (8.4) для функций получаем соотношения

которые эквивалентны представлениям (8.5), (8.6), если в них положить .

Вывод второго уравнения Колмогорова. Второе уравнение Колмогорова (8.7) является сопряженным по отношению к первому уравнению Колмогорова (8.4). Поэтому его вывод осуществляется несколько более искусственным способом, чем вывод (8.4).

Пусть а и — границы интервала изменения значений скалярного марковского процесса с условной функцией плотности вероятностей — любая дважды непрерывно дифференцируемая на этом интервале неслучайная функция, удовлетворяющая условиям

Тогда

так как в правой части равенства возможен предельный переход под знаком интеграла [VII]. Согласно уравнению Маркова — Смолуховского — Чепмена — Колмогорова (8.2),

Поэтому

Если в двойном интеграле справа изменить обозначения переменных интегрирования, заменив z на у и у на z, то с его помощью равенство (8.12) приводится к следующему:

Согласно принятому допущению, функция дважды непрерывно дифференцируема на интервале интегрирования. Поэтому ее можно представить в виде

С учетом обозначений (8.5), (8.6) и в силу принятого допущения (8.10) о вероятности больших отклонений получим

Подставив этот результат в (8.13), приходим к равенству

которое интегрированием по частям [VI] с учетом условий (8.11) преобразуется к виду

Полученное уравнение в силу произвольности функции приводит ко второму уравнению Колмогорова (8.7).

Пример 8.2. Рассмотрим -мерный случайный процесс удовлетворяющий стохастической модели состояния в форме Ито:

где — -мерный винеровский процесс, выходящий из О. Пусть при каждом фиксированном и векторная функция и матричная функция удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши (8.14) и являются непрерывными по t на промежутке Т. В этом случае, как уже отмечалось в 7.2, стохастическая модель состояния (8.14) задает марковский процесс , и его условная функция плотности вероятностей должна удовлетворять уравнениям Колмогорова (8.4), (8.7). Определим коэффициенты этих уравнений, для чего воспользуемся интегральным представлением стохастической модели состояния (8.14). Имеем

Второй интеграл в правой части (8.15) является стохастическим интегралом Ито. Повторив рассуждения, проведенные в 7.3 (см. доказательство теоремы 7.4), получим

А так как непрерывна по t, то из (8.15), согласно (8.16) и теореме о среднем [VI], имеем

где . Подставив полученный результат в (8.5) и перейдя к пределу при находим

А так как

то, согласно (8.6), (8.15) — (8.17),