Приложение 2. МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА

Рассмотрим линейное пространство квадратных матриц порядка , в котором выбрана некоторая кольцевая норма т.е. такая норма, что для любых матриц А, В в выполняется неравенство . В качестве такой нормы можно взять евклидову норму, определяемую для матрицы равенством

Введение нормы позволяет в линейном пространстве ввести сходимость последовательностей и рядов. Последовательность матриц сходится по норме к матрице А в если числовая последовательность является бесконечно малой, т.е. Аналогично вводится понятие сходимости матричного ряда (определения и основные свойства последовательностей и рядов в нормированных пространствах изложены в [IX]). Отметим, что сходимость последовательностей и рядов в конечномерном нормированном пространстве на самом деле не зависит от выбора конкретной нормы. При любом выборе нормы последовательность матриц сходится к матрице тогда и только тогда, когда при любых фиксированных числовая последовательность сходится к при Удачный выбор нормы позволяет упростить анализ последовательностей и рядов — и только. В частности, именно этим объясняется требование, чтобы норма была кольцевой.

Для любой матрицы можно рассмотреть ряд

который сходится по норме при любом выборе А, причем абсолютно [IX], так как

Определение Матричной экспонентой матрицы А называют матрицу равную сумме матричного ряда

Пример П 2.1. Пусть Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что

Поэтому

Матричная экспонента позволяет определить матричную функцию которая действительному числу сопоставляет матричную экспоненту матрицы Отметим, что часто именно эту матричную функцию и определяют как матричную экспоненту, так как с ней связаны наиболее важные приложения матричной экспоненты.

Рассмотрим свойства матричной экспоненты.

Свойство Если матрицы А, В в являются коммутирующими, то

Используя определение матричной экспоненты, можем записать:

Изменим порядок суммирования с помощью замены Из этих соотношений получаем откуда с учетом неравенств к получаем . Значит, двойное суммирование должно идти по таким парам , для которых верны указанные два неравенства, т.е. мы можем записать

Так как матрицы А и В коммутирующие, то и их любые степени являются коммутирующими. Поэтому

Сопоставляя заключаем, что

Свойство Для любой матрицы ее матричная экспонента является невырожденной, причем обратная матрица равна т.е.

Матрицы являются коммутирующими. Поэтому, согласно свойству

где 0 — нулевая матрица.

Легко проверить непосредственно по определению матричной экспоненты, что — единичная матрица. Поэтому Но точно так же Значит, согласно определению обратной матрицы, являются обратными друг к другу. В заключение отметим, что матрица, имеющая обратную, невырождена.

Свойство Для любой матрицы

Согласно определению матричной экспоненты, имеем

В силу равномерной (по t) сходимости этого ряда на любом отрезке числовой оси имеем

Аналогично получаем равенство .

Свойство Для любой матрицы решение однородной задачи Коши

имеет вид

т.е. матрица является резольвентой, или нормированной фундаментальной матрицей этой задачи Коши.

Ясно, что Согласно свойству

Таким образом, является решением задачи что и требовалось доказать.

Свойство Для любой матрицы и -мерной непрерывной на ) вектор-функции решение неоднородной задачи Коши

может быть представлено в виде

Представление вытекает из метода вариации постоянных для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому доказательство сформулированного свойства можно было бы провести с помощью этого метода. Однако в данном случае проще проверить, что правая часть в удовлетворяет задаче Коши. Действительно, начальное условие выполнено и

Свойство Пусть является решением задачи Коши с матрицей и вектором начальных условий с неотрицательными компонентами. Тогда для того чтобы все компоненты функции были неотрицательными при любом , необходимо и достаточно, чтобы все недиагональные элементы матрицы А были неотрицательными, т.е.

Обозначим и воспользуемся представлением решения задачи Коши в виде Тогда

А так как — произвольные неотрицательные числа, то очевидно, что функции являются неотрицательными при тогда и только тогда, когда при являются неотрицательными функции .

Выберем произвольное в (0, 1) и столь малое положительное число , что

Тогда для любых неотрицательных с учетом определения евклидовой нормы матриц имеем оценку

и с точностью получаем

Следовательно, при малых неотрицательных значениях условие является необходимым и достаточным условием неотрицательности компонент матричной экспоненты

Если t не является малым, то выбираем целое положительное число N столь большим, что будет удовлетворять условию Но тогда при выполнении условия матричная экспонента имеет лишь неотрицательные элементы. Следовательно, и матричная экспонента

имеет лишь неотрицательные элементы, так как является произведением конечного числа матриц с неотрицательными элементами.

Отметим, что матричная экспонента, как резольвента соответствующей задачи Коши, может быть найдена с помощью любых методов решения задач Коши, в том числе с помощью операционного исчисления [XI].

Переходим к рассмотрению линейных нестационарных моделей состояния. Пусть — -мерные вектор-функции, — матричная функция порядка скалярного аргумента t. При анализе задачи Коши

по аналогии со скалярным случаем возникает естественное предположение относительно ее резольвенты:

так как в скалярном случае фундаментальная матрица может быть записана в виде

а резольвента есть нормированная фундаментальная матрица, т.е.

При этом верны равенства

Заметим, что

При можно считать, что

Кроме того, если при имеет место равенство

то, воспользовавшись свойством получаем

Таким образом, если выполняется условие то резольвента задачи Коши определена равенством а ее решение может быть представлено в виде

На практике условия как правило, выполнены, но их проверкой не стоит пренебрегать.

Пример Рассмотрим задачу Коши при этом случае

При этом

и равенство не выполняется.

Действительно, непосредственной проверкой легко убедиться в том, что в данном случае

Введя матрицу

получим

Здесь приведены лишь минимально необходимые сведения о матричной экспоненте и ее приложениях. Более подробную информацию можно найти в специальной литературе.