Научная библиотека

Вопросы и задачи

2.1. Докажите, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.

2.2. Является ли винеровский процесс: а) гауссовским процессом; б) марковским процессом?

2.3. Определите -мерный закон распределения пуассоновского процесса.

2.4. Какими общими свойствами обладают винеровские и пуассоновские процессы?

2.5. Докажите, что пуассоновский процесс является марковским.

2.6. Пусть v — неслучайный параметр, — некоррелированные скалярные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковой дисперсией, равной Является ли скалярный случайный процесс

а) стационарным в широком смысле; б) стационарным в узком смысле?

Ответ: а) да, так как для такого процесса в общем случае нет, так как

2.7. Решите задачу 2.6, если известна совместная функция плотности вероятностей случайных величин

Ответ: а) да, так как для такого случайного процесса нет, так как

2.8. Является ли случайный процесс

стационарным в широком смысле, если — стационарный случайный процесс и: а) для любого фиксированного случайные векторы являются независимыми; б) где .

Ответ: а) да; б) нет.

2.9. Пусть — скалярный нормальный стационарный в узком смысле случайный процесс. Найдите одномерную и двумерную функции плотности вероятностей этого случайного процесса.

Ответ:

где

2.10. Ковариационная функция угла крена корабля , имеет вид

Определите вероятность того, что в момент времени угол крена будет больше 15°, если — скалярный нормальный стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием

Ответ:

Указание: использовать результаты решения задачи 2.9.

2.11. Использование эхолота с корабля, испытывающего бортовую качку, возможно, если угол крена корабля , удовлетворяет условию: Определите вероятность того, что второе измерение возможно через секунд после удачного первого измерения, если угол крена корабля — скалярный нормальный стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной функцией

Ответ:

Указание: использовать результаты решения задачи 2.9.

2.12. Пусть , — гауссовский стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной функцией

Определите математическое ожидание случайного процесса

считая параметром.

Ответ:

2.13. Пусть — винеровский скалярный процесс, выходящий из нуля и имеющий единичный коэффициентом диффузии. Докажите, что