Вопросы и задачи

8.1. Напишите уравнение Маркова — Смолуховского — Чепмена — Колмогорова. Почему оно справедливо лишь для марковских процессов?

8.2. Докажите теорему 8.1 при

8.3. Перечислите типовые постановки задач для определения условной функции плотности вероятностей

8.4. Можно ли утверждать, что:

а) каждая стохастическая модель состояния однозначно определяет марковский процесс;

б) каждый марковский процесс порожден стохастической моделью состояния;

в) каждый марковский процесс однозначно определяет стохастическую модель состояния?

8.5. Как связаны между собой параметры уравнений Колмогорова и соответствующей стохастической модели состояния?

8.6. Изложите основную идею решения задачи определения вероятности пребывания значений марковского процесса в заданной области.

8.7. Изложите основную идею решения задачи определения закона распределения времени пребывания значений марковского процесса в заданной области.

8.8. Возможно ли обобщение краевой задачи (8.38), (8.39) для определения математического ожидания времени пребывания значений скалярного марковского процесса в заданной области на случай векторного марковского процесса?

8.9. Почему при постановке задачи определения среднего числа выбросов значений марковского процесса за заданный уровень накладывается ограничение на время пребывания значений случайного процесса вне допустимой области?

8.10. Изложите основную идею решения задачи определения среднего числа выбросов значений марковского процесса за заданный уровень.

8.11. Пусть — независимые винеровские скалярные процессы, а скалярный случайный процесс определен стохастическим дифференциальным уравнением

где с — произвольная постоянная. Докажите, что — марковский процесс, которому соответствует уравнение Колмогорова, приведенное в примере 8.3.

8.12. Предположим, что условная функция плотности вероятностей -мерного марковского процесса удовлетворяет второму уравнению Колмогорова (8.7), в котором коэффициенты сноса заданы равенствами

а коэффициенты диффузии , равно как и параметры , являются известными постоянными. Воспользовавшись начальным условием (8.22), обобщите результат, полученный при рассмотрении примера 8.6, и докажите, что исходный случайный процесс является гауссовским.

8.13. Пусть — скалярный гауссовский стационарный (в широком смысле) случайный процесс, спектральная плотность которого равна

где — известные постоянные. Докажите, что можно рассматривать как компоненту векторного марковского процесса . Определите размерность такого случайного процесса и коэффициенты уравнений Колмогорова для него.

Ответ: — первая компонента двумерного Марковского процесса. При этом

8.14. Получите систему стохастических дифференциальных Уравнений, определяющих двумерный марковский процесс, если его условная функция плотности вероятностей удовлетворяет уравнению Колмогорова

где — известные постоянные, а — известная неслучайная скалярная функция.

Ответ:

где — двумерный винеровский процесс, выходящий из 0.

8.15. Закон отклонения руля высоты самолета, которое сообщается автопилотом для ликвидации воздействия пульсаций ветра, характеризуемых случайным процессом , можно приближенно описать стохастическим дифференциальным уравнением

где — известные постоянные. Определите условную функцию плотности вероятностей для случайного процесса , если известно, что при

Ответ:

8.16. Пусть — -мерный марковский процесс. Определите вероятность того, что в момент времени значение его первой компоненты будет находиться в интервале

Ответ:

8.17. Угловые отклонения оси гироскопического малтника от вертикали в первом приближении удовлетворяют системе стохастических уравнений

где — известные постоянные, а — горизонтальные ускорения точки подвеса малтника, которые можно считать независимыми случайными процессами, обладающими свойствами белого шума:

Определите вероятность того, что в течение интервала времени Т ось малтника ни разу не выйдет за пределы конуса, образующая которого составляет угол у с вертикалью, если в начальный момент времени ось малтника вертикальна. Ответ:

где — решение задачи

Решение смешанной задачи может быть получено методом Фурье разделения переменных полярной системе координат и имеет вид

где — корни уравнения — функции Бесселя [XI].

8.18. Пусть — двумерный марковский процесс с известными коэффициентами сноса и диффузии. Изложите общую схему решения задачи определения среднего числа выбросов его ординаты за уровень, определяемый уравнением в направлении вектора нормали