3.2. Непрерывность случайного процесса

Определение 3.3. Скалярный случайный процесс второго порядка называют непрерывным в точке , если существует предел

или, что то же самое,

Определение 3.4. Если скалярный случайный процесс второго порядка является непрерывным в каждой точке то его называют непрерывным на множестве Т.

Пример 3.2. Пусть — скалярный винеровский процесс. Тогда для любых имеет место равенство

Таким образом, скалярный винеровский процесс является непрерывным на Т, так как

Теорема 3.6. Скалярный случайный процесс второго порядка непрерывен на Т тогда и только тогда, когда на Т непрерывно его математическое ожидание а на непрерывна его ковариационная функция

При доказательстве воспользуемся соотношениями

вытекающими из свойств математического ожидания и ковариации (см. П1).

Необходимость. Для непрерывного на Т скалярного случайного процесса при имеем

Таким образом, из существования предела

следует существование предела

т.е. функция непрерывна на Т. Для доказательства непрерывности ковариационной функции на воспользуемся отмеченным свойством ковариации и неравенством Шварца.

Имеем

Итак, из существования предела

следует существование предела

т.е. непрерывна на .

Достаточность. Полагаем, что непрерывны на Г и на соответственно. В этом случае

Таким образом, существует предел

что и требовалось доказать.

Пример 3.3. Случайный процесс

из примера 1.3, имеющий параметры является непрерывным на Т, так как функция

непрерывна на T, а функция

непрерывна на T x Т.