10.6. Оценивание параметров при наличии ошибок измерений

Вернемся к математической модели (10.18), в которой неизвестные параметры представлены вектором матрицей G в и ковариационной матрицей где к — число наблюдаемых переменных состояния т.е. размерность вектора

Итак, рассмотрим математическую модель

(10.30)

где — -мерная вектор-функция, удовлетворяющая исходной детерминированной модели состояния (10.1); — известная матрица ранга к, причем ; — резольвента линейной задачи Коши (10.5); — независимые случайные векторы, распределенные по -мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е;

Предполагаем, что -мерные случайные векторы , независимы, имеют нулевые математические ожидания, а их ковариационные матрицы определены непосредственно с использованием свойств винеровского процесса:

где

Поскольку случайные векторы , определяемые равенствами (10.19), могут быть представлены в виде

являются независимыми и распределены по нормальному закону, то

где

Матрицы вычисляют с использованием фильтра Калмана (10.29), который в данном случае принимает вид

В соответствии с методом максимального правдоподобия оценки неизвестных параметров, представленные вектором а и матрицами находят из условия

Задача оценивания параметров изучаемого случайного процесса имеет единственное решение, если выполнены условия, сформулированные в 10.2, 10.3.

В заключение сделаем следующие замечания.

Замечание 10.2. Рассматривая решение задачи оценивания параметров случайного процесса при наличии ошибок измерений, мы умышленно выбрали в качестве данных наблюдений, чтобы прийти к фильтру Калмана. Если бы мы располагали данными наблюдений, представленными множеством то для решения основной задачи не было бы необходимости использовать фильтр Калмана, чтобы оценить ненаблюдаемые состояния. Это связано со спецификой данных наблюдений, представленных множеством (см. 9.1). Действительно, в этом случае для любого справедливо равенство

Случайные векторы , определяемые по формулам (10.19), независимы и распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Это позволяет сразу записать их совместную функцию плотности вероятностей.

Замечание 10.3. В случаях, когда наблюдения зависимы, можно также обойтись без оценки ненаблюдаемых переменных состояния. Действительно, независимые случайные векторы определяемые по формулам (10.19), используются лишь для того, чтобы записать их совместную функцию плотности вероятностей в виде произведения функций плотности вероятностей нормального закона распределения, зависящих от неизвестных параметров. Но независимые случайные векторы для этой цели можно получить и другим способом.

Рассмотрим задачу оценивания (10.30) в предположении, что Ее можно переформулировать так, что при этом функция правдоподобия не изменится. Из модели (10.18) получаем

(10.31)

где Из (10.31) имеем

Подставляя это выражение в (10.32), для находим

Случайные векторы независимы, распределены по нормальному закону с математическим ожиданием

и ковариационными матрицами

Таким образом, можно записать совместную функцию плотности вероятностей случайных векторов и с учетом равенств (10.33) избежать оценивания ненаблюдаемого состояния при решении основной задачи. Тем не менее, мы отказались от такого подхода с тем, чтобы сделать уместным изложение фильтра Калмана.

Мы закончили изучение методов статистики случайных процессов. Отметим, что вычислительные аспекты решения рассмотренных задач остались за рамками книги. Однако изложенного материала вполне достаточно для того, чтобы читатель мог самостоятельно применять конкретные вычислительные методы, изучив их в обширной литературе по вычислительной математике.