9.2. Статистические моменты случайного процесса

Рассмотрим случай, когда полностью отсутствует какая-либо априорная информация о закономерностях поведения изучаемого объекта и в результате испытаний получено множество независимых выборочных реализаций определяемое соотношениями (9.2), (9.1) при

При каждом фиксированном исследователь располагает реализацией случайной выборки объема для -мерного случайного вектора Эта реализация представляется матрицей

где

Оценки основных моментов рассматриваемого случайного процесса, т.е. оценки его математического ожидания, ковариационной матрицы и ковариационной функции, могут быть найдены с использованием известных формул математической статистики [XVII].

Так, для оценки математического ожидания имеем

где — единичная матрица-столбец. Оценку ковариационной матрицы можно определить следующим образом:

Диагональными элементами матрицы являются исправленные выборочные дисперсии компонент вектора состояния изучаемого объекта в момент времени Совершенно аналогично вычисляют оценку ковариационной функции:

Заметим, что множество выбрано с условием (9.5) далеко неслучайно. Во-первых, указанное условие позволяет усреднять значения выборочных реализаций для каждого а в противном случае пришлось бы проводить интерполяцию реализаций. Во-вторых, при нарушении условия (9.5) использование множества для оценки ковариационной функции некорректно, поскольку в этом случае оно представляет собой (по условиям испытаний) множество независимых значений случайного процесса.

Пример 9.1. Пусть — двумерный случайный процесс, , а результаты испытаний представлены в следующей таблице.

В данном случае Согласно (9.6),

Поэтому

и для нахождения оценок ковариационной матрицы и ковариационной функции достаточно воспользоваться равенствами (9.7) и (9.8):

Если заранее известно, что процесс изменения состояния изучаемого объекта является эргодическим по отношению к рассматриваемому моменту, то для решения задачи оценивания этого момента можно обойтись одной реализацией

Действительно, если изучаемый случайный процесс является эргодическим по отношению к математическому ожиданию и то

И для оценки математического ожидания имеем

где интеграл в правой части равенства находят численно с использованием выборочной реализации. В частности (рис. 9.4), если то

т.е. оценкой математического ожидания в рассматриваемом случае является среднее арифметическое выборочной реализации.

Рис. 9.4

Аналогично, если стационарный (в широком смысле) случайный процесс является эргодическим относительно ковариационной функции (обобщение понятия эргодичности скалярного случайного процесса относительно дисперсии), то

и оценка ковариационной функции при имеет вид

где интеграл в правой части равенства находят численно, используя выборочную реализацию. В частности (см. рис. 9.4), если наблюдения являются равноотстоящими, то оценку получают согласно (9.9), а оценку ковариационной функции — по формуле

где При из (9.10) получаем

Пример 9.2. В условиях горизонтального полета самолета произведена запись вертикальной перегрузки, действующей на самолет. Перегрузка регистрировалась с интервалом в 2 с в течение 200 с. Результаты измерений приведены в следующей таблице.

Необходимо определить оценку корреляционной функции изучаемого случайного процесса, если известно, что он является эргодическим по отношению к ковариационной функции.

В данном примере где — скалярный случайный процесс значений вертикальной перегрузки, действующей на самолет в горизонтальном полете. Имеем и в соответствии с формулами (9.9), (9.11) находим

Так как

то для завершения анализа достаточно воспользоваться формулой (9.10) и учесть связь ковариационной и корреляционной функций:

Функция изображена на рис. 9.5 набором точек, через которые проведена непрерывная кривая. Не совсем гладкий вид этой кривой объясняется недостаточным объемом экспериментальных данных. На рисунке также приведен вариант аппроксимации оценки гладкой функцией.

Рис. 9.5

При решении реальных задач математического моделирования наличие априорной информации об изучаемом процессе позволяет существенно сократить необходимый объем данных наблюдений, получение которых, как правило, связано со значительными затратами материальных и временных ресурсов. Априорная информация об изучаемом процессе может быть самой разнообразной, но в том или ином виде она всегда имеется в распоряжении исследователя. Поэтому далее рассмотрим методы, предполагающие определенные априорные знания об изучаемых случайных процессах.