4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В классическом математическом анализе теории рядов и интегралов Фурье объединяет гармонический анализ. Своим названием он обязан простейшей периодической функции , которую в приложениях называют гармоникой. Константы А, и и представляют собой соответственно амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники. Одной из задач гармонического анализа является задача о представимости функции в виде суммы гармоник, каждая из которых соответствует определенной частоте. Множество этих частот образует спектр функции, который играет существенную роль для решения широкого класса прикладных задач, поскольку, располагая спектром, всегда можно восстановить исходную функцию с наперед заданной точностью.

При изучении случайных процессов гармонический анализ приобретает особо важное значение. В самом деле, ни одна из реализаций случайного процесса не может быть известна заранее. Однако заранее можно установить, как распределяется дисперсия случайного процесса по частотам составляющих его гармоник. Такая информация не уступает по значимости спектру детерминированной, т.е. неслучайной функции. Использование этой информации при изучении стационарных (в широком смысле) случайных процессов составляет существо их спектральной теории.

Напомним, что скалярный случайный процесс (вещественный или комплексный) , является стационарным (в широком смысле), если он обладает двумя свойствами:

где символ означает переход к комплексно сопряженному выражению в случае комплексного случайного процесса, а

При этом из общих свойств ковариационных функций (см. 1.2) следует, что если — скалярный стационарный случайный процесс, то

Спектральная теория позволяет заменить исследование исходного стационарного случайного процесса исследованием его изображения при интегральном преобразовании Фурье, являющегося случайной функцией некоторого вспомогательного переменного, которое во многих приложениях имеет размерность частоты. А так как применение интегрального преобразования Фурье зачастую существенно упрощает выкладки, то оно получило широкое распространение как в теоретических, так и в прикладных исследованиях.