2.3. Процессы с независимыми приращениями

Определение 2.4. Случайный процесс называют процессом с независимыми приращениями, если для любых , таких, что случайные величины

являются независимыми.

В практике научных исследований встречаются случайные процессы, родственные (в определенном смысле) случайным процессам с независимыми приращениями. Отметим некоторые из них.

1. Если -мерные случайные векторы являются, вообще говоря, зависимыми, но некоррелированными, то -мерный случайный процесс называют процессом с некоррелированными (ортогональными) приращениями.

2. Если для любых , закон распределения приращения зависит лишь от , то случайный процесс с независимыми приращениями называют процессом со стационарными независимыми приращениями.

Случайный процесс независимыми приращениями полностью определен одномерным законом распределения характеризующим случайный вектор и двумерным законом распределения характеризующим приращения

Пример 2.2. Пусть , — случайный процесс с ортогональными приращениями и требуется определить его ковариационную функцию.

Полагая имеем

где последние равенства следуют из свойств ковариации и некоррелированности случайных величин и

Рассуждая аналогично, при получаем

Таким образом, с учетом связи ковариационной функции случайного процесса и его ковариационной матрицы, имеем

Отметим, что процесс с независимыми приращениями является процессом с ортогональными приращениями. Поэтому результат, полученный при рассмотрении примера 2.2, имеет место для любого процесса с независимыми приращениями.

Пример 2.3. Пусть , — процесс с ортогональными приращениями. Для положим

Так как исходный случайный процесс является процессом с ортогональными приращениями и то

Таким образом,

т.е. ковариационная матрица приращения равна разности ковариационных матриц соответствующих сечений исходного случайного процесса.

Если воспользоваться формальным определением функции приведенным в примере 2.3, то при

Но в этом случае

А так как

то приходим к равенству

которое имеет место для любых удовлетворяющих неравенству

Можно показать, что если — непрерывная функция, то

Кроме того, для процесса с ортогональными приращениями , такого, что

имеют место равенства

Значит, ковариационная функция равна

или