1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Теория случайных функций является разделом теории вероятностей и, как следствие, относится к классической математике, которая строится дедуктивно, исходя из некоторой системы аксиом. Основой теории случайных функций являются фундаментальные понятия и результаты базовых разделов теории вероятностей.

1.1. Случайная функция, случайный процесс и случайная последовательность

Пусть — вероятностное пространство; - измеримое пространство; t — параметр, совокупность значений которого Т в общем случае является произвольным множеством; — элементарное событие.

Определение 1.1. Случайной функцией , называют измеримое отображение пространства элементарных событий в зависящее от параметра

Если — отрезок числовой оси, а параметр t интерпретируют как время, то вместо термина „случайная функция" используют термин „случайный процесс“. При случайный процесс , называют скалярным случайным процессом, а при его называют векторным случайным процессом или -мерным случайным процессом. Векторный (-мерный) случайный процесс , можно записать в виде При этом скалярные случайные процессы , называют его координатньмси случайными процессами.

Если , то вместо случайной функции , говорят о случайной последовательности, которую обозначают также

При любом фиксированном значении параметра случайная функция , является случайным вектором, называемым сечением этого случайного процесса.

Если зафиксировать элементарное событие и , то в этом случае является (неслучайной) функцией параметра t, которую называют траекторией случайного процесса , или его реализацией.

Пример 1.1. Предположим, что разработан реактивный двигатель новой конструкции и — функция времени описывающая теоретический закон изменения давления в камере сгорания, причем — момент запуска двигателя. Так как реально невозможно изготовить даже два абсолютно идентичных двигателя, то изменение давления в камере сгорания — скалярный случайный процесс , где — вектор конструктивно-технологических характеристик реактивного двигателя.

Рис. 1.1

Пусть изготовлены три опытных образца рассматриваемого реактивного двигателя и проведены их испытания. На рис. 1.1 схематично изображены реализации случайного процесса

При этом — вектор конструктивно-технологических характеристик образца; — изменение давления в камере сгорания образца реактивного двигателя; — момент окончания фиксации давления.

Если для случайного процесса , зафиксировать произвольное значение параметра t, то получим -мерный случайный вектор являющийся сечением случайного процесса. Закон распределения вероятностей этого случайного вектора называют одномерным законом распределения случайного процесса . Функцию распределения (вероятностей) случайного вектора

где

называют одномерной функцией распределения случайного процесса — одномерной функцией плотности вероятностей случайного процесса , которая может быть и обобщенной (см. П 1).

Если зафиксировать значения t параметра , то приходим к совокупности из N случайных -мерных векторов с функцией распределения (вероятностей)

называемой конечномерной (-мерной) функцией распределения случайного процесса .

В этом случае — конечномерная (-мерная) функция плотности вероятностей случайного процесса (возможно обобщенная). Функции

задают конечномерный (-мерный) закон распределения случайного процесса .

Не следует путать конечномерные функции плотности вероятностей (функции распределения) случайного процесса и конечномерные функции плотности вероятностей (функции распределения) его сечений. В зависимости от контекста может идти речь об -мерной функции плотности вероятностей (функции распределения) скалярного случайного процесса и об одномерной функции плотности вероятностей (функции распределения) векторного случайного процесса.

Фактически случайный процесс , можно рассматривать как совокупность всех его возможных сечений. Таким образом, в общем случае случайный процесс , не может быть полностью определенным, так как он представим несчетной совокупностью своих сечений и невозможно построить совместный закон распределения всех его сечений. Поэтому любой случайный процесс в общем случае не является полностью определенным и при решении различных задач, как теоретического, так и прикладного характера, исследователь вынужден ограничиваться использованием конечномерных законов распределений.

Определение 1.2. Случайные процессы , определенные на одном и том же множестве Т, в одном и том же вероятностном пространстве и принимающие значения в одном и том же измеримом пространстве называют стохастически эквивалентными, если для любого

Таким образом, стохастически эквивалентные случайные процессы , и , могут отличаться друг от друга лишь на подмножестве множества , имеющем нулевую вероятность.

Если случайные процессы являются стохастически эквивалентными, то их конечномерные функции распределения совпадают, т.е.

для любого и для любых

Реализации стохастически эквивалентных случайных процессов могут быть совершенно различными.

Пример 1.2. Пусть и случайная величина распределена равномерно на множестве Т. Рассмотрим два случайных процесса:

Эти скалярные случайные процессы являются стохастически эквивалентными. Действительно, при любом имеем

так как в случае непрерывной скалярной случайной величины вероятность попадания в точку равна нулю. Любая реализация случайного процесса — тождественный нуль, а реализация случайного процесса , имеет разрыв в случайной точке (рис. 1.2).

Рис. 1.2

При решении различных задач теоретического и прикладного характера в ряде случаев бывает удобной замена исходного случайного процесса стохастически эквивалентным.

Тогда получаемые выводы с точностью до случайных событий, обладающих нулевой вероятностью реализации, могут быть отнесены к исходной задаче.