7.2. Линейные стохастические дифференциальные уравнения

Исследование нелинейных стохастических моделей состояния (7.6), (7.7) в общем случае связано со значительными трудностями принципиального характера. Однако оно существенно упрощается, если возможна линеаризация исходной математической модели, т.е. замена нелинейной стохастической модели состояния некоторым ее линейным приближением.

Определение 7.1. Стохастической задачей Коши (задачей Коши для системы линейных стохастических дифференциальных уравнений) называют систему уравнений

где — известные матричные функции типа зависящие от переменного и от -мерного вектора а параметров; , — -мерный винеровский процесс, выходящий из 0 и имеющий коэффициент диффузии — -мерный случайный вектор с известным законом распределения, характеризующий начальное состояние неизвестного -мерного случайного процесса .

При дальнейших рассуждениях будем предполагать, что матричные функции являются непрерывными в промежутке

Для любого фиксированного и стохастическая задача Коши (7.8) переходит в задачу Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

А так как при этом выполнены условия теоремы существования и единственности ее решения, то при любом фиксированном задача Коши (7.8) однозначно определяет соответствующую реализацию случайного процесса .

Пусть — фундаментальная матрица решений для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Для любого фиксированного решение задачи Коши (7.8) можно записать в следующем виде [VIII]:

где — нормированная фундаментальная матрица решений, или резольвента. Резольвента удовлетворяет матричному уравнению

и начальному условию

При этом, если матричные функции коммутативны относительно умножения, то (см. П. 2)

Стохастическая задача Коши (7.8) определяет всю совокупность возможных реализаций рассматриваемого случайного процесса . О решении этой задачи можно судить лишь по вероятностным характеристикам -мерного случайного процесса

Теорема 7.2. Если — матричные функции типа , непрерывные на промежутке , — -мерный винеровский процесс с коэффициентом диффузии выходящий из 0, а — -мерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с математическим ожиданием и ковариационной матрицей то решение задачи Коши (7.8) является -мерным нормальным марковским процессом.

Воспользовавшись разностной аппроксимацией задачи Коши (7.8), в соответствии с определением винеровского процесса, выходящего из 0, при имеем

а при

А так как в соответствии с определением винеровского процесса для любого и для любых , таких, что , случайные векторы являются независимыми, то состояние определяется текущим состоянием и значением -мерного случайного вектора При этом значение указанного вектора не зависит от предыдущих состояний и т.д. Таким образом, если и -мерная функция плотности вероятностей -мерного случайного процесса имеет вид

то его условная функция плотности вероятностей обладает свойством

т.е. -мерный случайный процесс , является марковским процессом. При этом, согласно условиям теоремы и определению винеровского процесса, -мерные случайные векторы распределены по нормальному закону. Поэтому из (7.11) и (7.12) следует, что все условные и одномерные законы распределения случайного процесса , являются нормальными. А так как , — марковский процесс, то его -мерная функция плотности вероятностей имеет вид

а все его конечномерные законы распределения являются нормальными законами распределения, что и требовалось доказать.

Если проанализировать доказательство теоремы 7.2, то нетрудно убедиться в том, что в условиях, относящихся к можно добавить: — детерминированный (неслучайный) -мерный вектор. В этом случае плотность распределения начального состояния является обобщенной (см. П. 1) и ее можно рассматривать как предельный случай для плотности распределения случайного вектора когда его ковариационная матрица

Следствие 7.4. Решение , стохастической задачи Коши (7.8) полностью определяется своим математическим ожиданием и ковариационной функцией.

Действительно, решение является -мерным нормальным марковским процессом.

Теорема 7.3. Если выполнены условия теоремы 7.2 и случайный процесс , является решением стохастической задачи Коши (7.8), то его математическое ожидание и ковариационная функция удовлетворяют соотношениям

где — резольвента нормальной системы линейных дифференциальных уравнений а ковариационная матрица случайного процесса , является решением следующей задачи Коши:

Решение стохастической задачи Коши (7.8) при каждом фиксированном может быть представлено в виде (7.9). При этом, как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, для любого фиксированного решение задачи Коши (7.8) с использованием резольвенты при может быть записано так [VIII]:

В общем случае интеграл в правой части равенства (7.9) представляет собой интеграл от детерминированной функции по винеровскому процессу

Так как стохастические интегралы по винеровскому процессу рассматриваются в 7.3, то на данном этапе ограничимся лишь их формальной записью.

Определяя математическое ожидание левой и правой частей (7.9), получаем (7.13), поскольку можно показать, что при .

Доказывая равенство (7.14), можем считать, что так как в силу линейности стохастической задачи Коши (7.8) всегда можно перейти к центрированному случайному процессу

имеющему нулевое математическое ожидание при . Для с учетом предположения о центрированности случайного процесса имеем

В последней сумме второе слагаемое равно нуль-матрице, поскольку не зависит от для любых а математические ожидания сомножителей в квадратных скобках равны нулю. Поэтому

Аналогично можно доказать, что при

Чтобы получить уравнение, которому удовлетворяет ковариационная матрица рассмотрим разность

Пусть . Согласно (7.8), при с точностью имеем

Поэтому

А так как не зависит от то

и для получения окончательного результата достаточно разделить правую и левую части полученного равенства на h и перейти к пределу при с учетом того, что

Пример 7.2. Пусть в стохастической задаче Коши и

В этом случае резольвенту можно найти в виде (7.10):

и, согласно (7.13), математическое ожидание решения стохастической задачи Коши (7.8) определено равенством

В рассматриваемом примере начальное состояние является детерминированным, поэтому и задача Коши (7.15) для определения ковариационной матрицы с учетом ее симметричности может быть представлена в следующем виде:

Решение этой задачи Коши можно найти стандартными методами [VIII], и оно имеет вид

Для завершения рассмотрения примера достаточно подставить полученные результаты в правую часть (7.14).

Из теорем 7.2, 7.3 можно сделать следующие выводы.

1. Так как решение стохастической задачи Коши (7.8) является -мерным нормальным марковским процессом, то его одномерная функция плотности вероятностей является плотностью -мерного нормального распределения [XVI] и имеет следующий вид:

где — -мерный вектор-столбец, математическое ожидание определяют согласно (7.13), а ковариационная матрица является решением задачи Коши (7.15).

2. Поскольку , — марковский процесс, то его -мерная функция плотности вероятностей может быть представлена в следующем виде (см. 2.5):

где условная функция плотности вероятностей

является условной плотностью распределения -мерного случайного вектора при условии, что -мерный случайный вектор принял некоторое фиксированное значение а -мерный случайный вектор

имеет нормальное распределение.

При этом можно показать, что условное математическое ожидание и ковариационная матрица являются решениями следующих задач Коши:

3. Условную функцию плотности вероятностей для нормального процесса можно получить и не прибегая к условным математическим ожиданиям и ковариационным матрицам. Действительно, пусть — два сечения -мерного нормального марковского процесса , являющегося решением стохастической задачи Коши (7.8). Его условная функция плотности вероятностей может быть представлена в виде

где математическое ожидание ковариационная функция и ковариационная матрица случайного процесса определены равенствами (7.13), (7.14) и (7.15) соответственно, а

Чтобы доказать равенство (7.19), рассмотрим -мерный случайный вектор , для которого

и который имеет -мерное нормальное распределение. В этом случае его плотность распределения равна

где При этом из условия получаем систему матричных уравнений

Выразив из второго уравнения и подставив в первое уравнение, приходим к равенству

из которого и определяем матрицу Совершенно аналогично находим матрицы и устанавливаем равенство

Блочная матрица является симметрической, т.е. так как симметрической является ковариационная матрица -мерного случайного вектора . Для вычисления определителя матрицы V используем основное свойство блочных матриц, согласно которому операции над блочными матрицами выполняются по тем же правилам, что и операции над числовыми матрицами [III]. Таким образом,

А так как непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости равенств

то плотность распределения -мерного случайного вектора можно представить в следующем виде:

где множитель

есть не что иное, как плотность распределения случайного вектора Но тогда условная плотность распределения -мерного случайного вектора при условии, что -мерный случайный вектор принял некоторое фиксированное значение действительно задается равенством (7.19), так как

4. Если в стохастической задаче Коши при любых , где — постоянные матрицы, причем действительные части всех собственных чисел матрицы а отрицательны, то при больших значениях времени t решение , можно считать стационарным (в широком смысле) нормальным марковским случайным процессом.

В самом деле, является решением задачи Коши для нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

которая в силу отрицательности вещественных частей собственных чисел матрицы а является асимптотически устойчивой, т.е.

Поэтому для любого сколь угодно малого существует такое t, что для любых имеет место неравенство

т.е. можно считать, что и 0 для всех .

Теперь осталось показать, что при больших значениях , где имеет место приближенное равенство

Для упрощения дальнейших рассуждений ограничимся скалярным случаем стохастической задачи Коши (7.8), в которой при любых , где b и d — действительные числа, т.е. рассмотрим скалярную стохастическую задачу Коши:

где , — скалярный винеровский процесс, выходящий из 0 и имеющий коэффициент диффузии

В сформулированной стохастической задаче Коши начальное условие является детерминированным, а резольвента соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения имеет следующий вид:

Согласно (7.15), ковариационная матрица — дисперсия скалярного случайного процесса — в данном случае является решением задачи Коши

которое можно найти стандартными методами [VIII]:

Чтобы показать, что при больших значениях значение ковариационной функции определяется в основном разностью достаточно воспользоваться равенством (7.14) при Действительно, в данном случае

что и требовалось доказать.

Замечание 7.1. Марковский процесс с течением времени „забывает" свое исходное состояние. Покажем это в частном случае. Пусть в стохастической задаче Коши при любых , где а и b — постоянные квадратные матрицы порядка , причем действительные части всех собственных чисел матрицы а отрицательны. Выберем произвольный момент времени , обозначим его через и зафиксируем значение случайного процесса т.е. полагаем При сделанных предположениях из (7.17) следует, что условное математическое ожидание удовлетворяет соотношению тпоо при Кроме того, можно показать, что при где матрица удовлетворяет матричному уравнению

и, согласно теории матриц, может быть представлена в следующем виде:

Поэтому при где — функция плотности вероятностей -мерного случайного вектора, распределенного по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е.

Замечание 7.2. Если выполняются предположения из замечания 7.1, то ковариационную матрицу можно представить в виде

где — некоторая матричная функция. Эта функция, согласно (7.15), является решением задачи Коши

Так как решение этой задачи известно:

то ковариационная функция имеет следующий вид:

В рассматриваемом случае математическое ожидание решения стохастической задачи Коши (7.8) удовлетворяет нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений резольвента которой (см. П. 2)

Поэтому, если в стохастической задаче Коши (7.8) вектор начального состояния обладает нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей то ее решением является стационарный (в широком смысле) случайный процесс, что следует из (7.13), (7.14), тождества и вида резольвенты

Замечание 7.3. Пусть в стохастической задаче Коши при любых , где а и b — постоянные квадратные матрицы порядка и действительные части собственных чисел матрицы а отрицательны. Если эту стохастическую задачу Коши интерпретировать как математическую модель линейной динамической системы с невозмущенным начальным состоянием, на вход которой поступает белый шум, то ее реакцию можно рассматривать как стационарный (в широком смысле) нормальный марковский случайный процесс лишь при больших значениях текущего времени t, так как в рассматриваемом случае (см. замечания 7.1 и 7.2). При больших значениях текущего времени в любой динамической системе, обладающей свойством асимптотической устойчивости (решение соответствующей нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений является асимптотически устойчивым), происходит фактическое затухание переходных процессов. На этот факт мы уже обращали внимание, анализируя преобразование стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему.