ГЛАВА VIII. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В главе VIII рассмотрены основные методы численного решения различных типов задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. В § 1 изложены постановка и методы решения задачи с начальными условиями (задачи Коши); эти методы применяются и при решении других типов задач. В § 2 даны постановки и методы решения краевых задач, а в § 3 — задач на собственные значения.

§ 1. Задача Коши

1. Постановка задачи.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, сопротивления материалов (например, статический прогиб упругого стержня) и многие другие. Ряд важных задач для уравнений в частных производных также сводится к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Так бывает, если многомерная задача допускает разделение переменных (например, задачи на нахождение собственных колебаний упругих балок и мембран простейшей формы, или определение спектра собственных значений энергии частицы в сферически-симметричном поле), или если ее решение зависит только от некоторой комбинации переменных (так называемые автомодельные решения). Таким образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений занимает важное место среди прикладных задач физики, химии и техники.

Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, или к системе уравнений любого порядка. Но известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение порядка

при помощи замены можно свести к эквивалентной системе уравнений первого порядка

где

Аналогично, произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно заменить некоторой эквивалентной системой уравнений первого порядка. Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать системы уравнений первого порядка

записывая для краткости в векторной форме

Известно, что система порядка (1а) имеет множество решений, которое в общем случае зависит от параметров и может быть записано в форме . Для определения значений этих параметров, т. е. для выделения единственного (или нужного) решения, надо наложить дополнительных условий на функции

Различают три основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собственные значения.

Задача Коши (задача с начальными условиями) имеет дополнительные условия вида

т. е. заданы значения всех функций в одной и той же точке Эти условия можно рассматривать как задание координат начальной точки интегральной кривой в -мерном пространстве их, Решение при этом обычно требуется найти на некотором отрезке , так что точку [можно считать начальной точкой этого отрезка.

Напомним что если правые части (1) непрерывны и ограничены в некоторой окрестности начальной точки то задача Коши (1)-(2) имеет решение, но, вообще говоря, не единственное. Если правые части не только непрерывны, но и удовлетворяют условие Липшица по переменным то решение задачи Коши единственно и непрерывно зависит от координат начальной точки, т. е. задача корректно поставлена. Если вдобавок правые части имеют непрерывные производные по всем аргументам вплоть до порядка, то решение имеет непрерывную производную по