2. Разностный метод.

Это простейший численный метод, позволяющий получать решение одномерных задач с хорошей точностью, а двумерных с удовлетворительной. Он рассчитан на применение ЭВМ, хотя оценки с небольшим числом узлов сетки можно производить вручную.

Рассмотрим одномерное нелинейное уравнение (1). Возьмем на какую-нибудь квадратную формулу, например линейную формулу с узлами и весами

(нелинейные квадратурные формулы почти никогда не используются). Введем в квадрате сетку где являются узлами формулы (10). Заменяя интеграл в уравнении (1) суммой (10), получим систему алгебраических уравнений для определения приближенных значений в узлах

Эту систему целесообразно решать методом Ньютона. На вопрос о сходимости при заданном типе квадратурной формулы и в настолько общей постановке трудно ответить.

Рассмотрим линейные задачи. Для них обоснование сходимости (при использовании линейных квадратурных формул) - фактически содержится в теории Фредгольма. Это обоснование громоздко и здесь не приводится (см., например, [23]).

Однородное уравнение Фредгольма (8) линейно, поэтому для него система (11) также линейна. Запишем ее в следующем виде:

Система (12) представляет собой задачу на определение собственных значений матрицы К порядка N с элементами . Эта матрица имеет N собственных значений ), которые являются приближением к первым собственным значениям ядра

Разностное решение (12) вычисляют методами, описанными в главе VI. Матрица К является, вообще говоря, плотно заполненной и неэрмитовой; поэтому фактически вычислить разностиоё решение удается только при небольших Получить в этом случае. хорошую точность можно лишь для нескольких первых собственных значений, причем ядро и правая часть должны быть достаточно гладкими и не быстропеременными.

Замечание 1. Пусть ядро, правая часть и искомое решение достаточно гладки и квадратурная формула (10) имеет на них аппроксимацию Поскольку алгоритм сходится, то он устойчив. Задача (8) — линейная, поэтому из аппроксимации и устойчивости следует сходимость со скоростью

Сходимость можно исследовать численно, проводя расчеты на последовательности сгущающихся сеток и устанавливая стремление и некоторой предельной функции при 0.

Неоднородное уравнение Фредгольма (6) приводит к линейной неоднородной алгебраической системе

Разностное решение легко вычисляется методом исключения Гаусса; на ЭВМ типа БЭСМ-6 скорость и оперативная память позволяют использовать в расчете до узлов. Таким образом, в этой задаче нетрудно получить более высокую точность расчета, чем в задаче на собственные значения.

Линейная система (13) имеет единственное решение, если Но причем при большом N разница между ними невелика. Следовательно, описанный алгоритм хорошо обусловлен, если параметр К не лежит в малой окрестности одного из собственных значений ядра.

Если то система (13) становится плохо обусловленной.

При некоторых числах узлов N возможен сбой алгоритма: если случайно значение близко подходит к X, то разностное решение на этой сетке может сильно отличаться от

Обычно нам неизвестны собственные значения ядра. Поэтому для обнаружения и исключения последнего случая все расчеты надо проводить на последовательности сгущающихся сеток. Если при сгущении сетки сходится к некоторой предельной функции , то эта функция есть искомое решение (см. замечание 1). Если расчет на одной из сеток выпадает из общей закономерности, то имело место случайное совпадение Если на всех сетках не стремится к пределу при то

Уравнение Вольтерра (7) получают из уравнения Фредгольма (6), полагая при Алгебраическая система (13) становится при этом треугольной:

и решается обратным ходом метода Гаусса всего за действий. Поэтому здесь объем вычислений остается умеренным даже при , что позволяет проводить расчеты с очень высокой точностью.

Выбор квадратурной формулы. Большинство задач приходится решать, используя сравнительно небольшое число узлов N. Поэтому для получения хорошей точности целесообразно выбирать квадратурные формулы высокого порядка точности, разумеется, если имеют достаточное число непрерывных производных.

Обычно наилучшие результаты для достаточно гладких решений дают квадратурные формулы Гаусса или Гаусса — Кристоффеля; при числе узлов k их порядок точности Можно также использовать простейшую формулу трапеций, последовательно сгущая сетки вдвое от до и уточняя решение способом Рунге; это также дает результат с порядком точности но требует использования существенно большего числа узлов, чем в формулах Гаусса.

Нередко ядро или правая часть недостаточно гладки и даже имеют разрывы. Наиболее типичен разрыв ядра или его производных при (на диагонали квадрата ); встречаются особенности, и на других линиях в плоскости . В этих случаях использовать формулы Гаусса нецелесообразно. Удобнее построить специальную сетку так, чтобы особые линии пересекали линии сетки только в узлах (рис. 102).

Затем в качестве (10) выбирают обобщенную формулу трапеций (4.7), причем в интервалах, примыкающих к особой линии, используют соответствующие односторонние пределы функций.

Если вне особых линий все функции непрерывны вместе с достаточным числом своих производных, то при сгущении специальной сетки можно уточнять решение способом Рунге.

Полезно предварительно так преобразовать исходное уравнение, чтобы гладкость решения повысилась. Например, если ядро непрерывно, а разрывна, то и тоже разрывна. Полагая , получим вместо (6) уравнение

Рис. 102.

В уравнении (15) правая часть уже непрерывно зависит от так что его решение непрерывно. Поэтому численно решать уравнение (15) проще, чем исходное уравнение (6).

Замечание 2. Уравнение Вольтерра (7) формально сводится к уравнению Фредгольма (6), но ядро при этом имеет особенность (обычно разрыв) на диагонали . Поэтому для уравнения Вольтерра следует выбирать обобщенную формулу трапеций и проводить уточнение способом Рунге.

Многомерные задачи допускают, в принципе, применение описанного метода; надо только в (10) и других формулах под подразумевать узлы многомерной кубатурной формулы . Однако получить удовлетворительную точность при умеренном объеме расчетов удается лишь для достаточно гладких когда можно использовать кубатурные формулы высокого порядка точности (например, произведение одномерных формул Гаусса с небольшим числом узлов k по каждой переменной).

В более сложных случаях развивают специальные методы; многие из них используют симметрию задачи и слабую зависимость решения от части переменных.

3. Метод последовательных приближений. Это простейший приближенный метод. Запишем для неоднородного уравнения Фредгольма (6) итерационный процесс:

Нетрудно показать, что при ограниченном ядре и достаточно малом значении этот процесс сходится к решению уравнения (6).

Доказательство. Обозначим погрешность итерации через . Вычитая (6) из (16), получим

Отсюда следует неравенство

Тем самым, если выполнено условие

то итерации (16) сходятся равномерно по причем сходимость линейная. При достаточно малом условие (19) выполняется.

В практических вычислениях квадратуры, возникающие в этом методе, редко удается выразить через элементарные функции. Поэтому обычно ограничиваются нахождением первых приближений.

Замечание 1. Для уравнения Вольтерра (7) метод последовательных приближений сходится равномерно по при любых значениях X. Действительно, в этом случае вместо (17) справедливо соотношение

Выкладки, полностью аналогичные доказательству сходимости метода Пикара (гл. VIII, § 1,п. 3), приводят к оценке

При правая часть этого неравенства стремится к нулю при любых значениях X, что доказывает наше утверждение.

Замечание 2. Оценку (18) можно переписать в следующем виде:

Отсюда видно, что метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма эквивалентен разложению в ряд по степеням параметра X. Это можно строго показать, выражая через при помощи рекуррентного соотношения (16).

Пример. Рассмотрим уравнение

Применяя процесс (16), получим

и т. д. В этом случае удается найти точное решение

Нетрудно заметить, что последовательные приближения здесь сходятся только при

4. Замена ядра вырожденным. Ядро уравнения Фредгольма называется вырожденным, если оно является суммой конечного числа членов вида

(для уравнения Вольтерра ядро не может быть вырожденным, иначе оно тождественно равнялось бы нулю). Решение уравнения с вырожденным ядром находится за конечное число действий.

В самом деле, подставляя ядро (25) в неоднородное уравнение (6), представим решение в виде суммы конечного числа членов:

Подставляя (26а) в (26б), получим линейную систему для нахождения коэффициентов

Решая эту систему и подставляя найденные значения в (26а), найдем искомое решение.

Для однородного уравнения Фредгольма (8) надо положить во всех формулах . Тогда система (27) становится однородной и представляет собой задачу на нахождение собственных значений матрицы порядка.

Отсюда видно, что вырожденное ядро (25) имеет ровно N собственных значений V

Произвольное ядро нередко удается хорошо аппроксимировать вырожденным ядром. Например, разложим в ряд Фурье по некоторой полной ортонормированной системе функций коэффициенты этого разложения будут функциями от

В качестве (25) можно взять отрезок разложения (28). Тогда формулы (25)-(27) позволяют найти приближенное решение. Оценки точности таких приближений мы не рассматриваем, поскольку они громоздки и неудобны в практических вычислениях.

Замечание. Пусть в неоднородном уравнении (6) с вырожденным ядром (25) правая часть и такова, что выполняется

Тогда при равном одному из собственных значений ядра система (27) имеет нетривиальное решение, причем не единственное. Тем самым, в данном случае существует решение и уравнения (6).

Пример. Рассмотренное в п. 3 уравнение (23) имеет вырожденное ядро него должно быть ровно одно собственное значение; Определим его. Полагая в легко получим

откуда Заметим, что точное решение (24) неоднородного уравнения (23) при не существует.