2. Линейная аппроксимация.

Рассмотрим гильбертово пространство действительных функций, интегрируемых с квадратом с весом на . Норма в нем равна где скалярное произведение определено следующим образом:

Физический смысл весовой функции будет пояснен в п. 4. Выберем в качестве аппроксимирующей функции линейную комбинацию (37). Подставляя ее в условие наилучшего приближения (36), получим

Приравнивая нулю производные по коэффициентам, получим систему линейных уравнений

Ее определитель есть определитель Грама функций поскольку функции линейно-независимы, он отличен от нуля. Следовательно, наилучшее среднеквадратичное приближение существует и единственно. Для его вычисления необходимо решить систему линейных уравнений (38).

Линейно-независимую систему функций можно ортогонализировать.

Пусть уже образуют ортонормированную систему, т. е. ; тогда формулы (38) резко упрощаются и становятся удобными для вычислений

Это коэффициенты Фурье, так что наилучшее приближение есть отрезок обобщенного ряда Фурье.

Если функции образуют полную ортонормированную систему, то в силу равенства Парсеваля

Значит, при норма погрешности неограниченно убывает, т. е. наилучшее приближение среднеквадратично сходится к у и возможна аппроксимация с любой точностью.

Отметим, что если не ортогональны, то при определитель Грама обычно быстро стремится к нулю, система (38) становится плохо обусловленной, т. е. ее решение связано с большой потерей точности (см. главу V), и больше 5 — 6 членов суммы (37) брать нецелесообразно. Численная ортогонализация базиса при этом тоже приводит к большой потере точности. Поэтому если нужно большое число членов, то надо или проводить ортогонализацию точно (аналитически), или пользоваться готовыми системами ортогональных функций.

При интерполяции мы обычно полагали Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве брать многочлены, ортогональные с заданным весом. Наиболее употребительны из них многочлены Якоби (частным случаем которых являются многочлены Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрмита. Для аппроксимации периодических функций используют тригонометрический ряд; он соответствует Сводка формул для ортогональных полиномов приведена в Приложении.

Все перечисленные выше системы функций полные, так что наилучшие приближения по ним среднеквадратично сходятся при если интегрируема с квадратом с заданным весом. При более сильных ограничениях имеет место сходимость во всех точках и даже равномерная сходимость. Приведем без доказательства некоторые результаты.

а) Ряд по многочленам Якоби сходится к непрерывной функции у равномерно на если существует непрерывная при некотором и если . В частности, для многочленов Чебышева первого рода достаточно а для многочленов Чебышева второго рода Для многочленов Лежандра доказан более сильный результат: ряд сходится равномерно, если существует ограниченная у

б) Если функция кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на и существует

то ряд по многочленам Лагерра сходится к функции в точках ее непрерывности и к полусумме односторонних пределов в точках разрыва. Эта сходимость, вообще говоря, не равномерная.

в) Если функция у кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на и существует

то ряд по многочленам Эрмита сходится так же, как в предыдущем абзаце.

г) Если у периодическая и непрерывная, причем ее модуль непрерывности удовлетворяет условию то ее тригонометрический ряд Фурье равномерно сходится к ней на всем периоде (признак Липшица); в частности, это условие выполняется для функции с ограниченной производной. Если функция имеет ограниченную производную а все младшие производные непрерывны, то для погрешности тригонометрического ряда Фурье и величин отдельных коэффициентов справедливы оценки

где А — константа. Видно, что при больших ряд сходится быстро. Но если кусочно-непрерывна, то сколько бы ни было у нее кусочно-непрерывных и ограниченных производных, ее коэффициенты Фурье убывают не быстрей и ряд сходится медленно (или даже расходится).

Замечание 1. Сходимость не во всех рассмотренных случаях была равномерной. Более того, не существует такого веса чтобы любая непрерывная функция разлагалась в равномерно сходящийся ряд по полиномам, ортогональным с этим весом. Буа-Реймондом и Л. Фейером были построены примеры периодических непрерывных функций, у которых тригонометрический ряд Фурье в отдельных точках расходится.

Замечание 2. Сходимость среднеквадратичного приближения тем лучше, чем меньше у функции особенностей — разрывов ее самой или ее производных. Если можно выделить основные особенности в виде несложной функции и аппроксимировать разность у точность аппроксимации существенно улучшается.

Например, периодически продолжим функцию, изображенную сплошной линией на рис. 11, и аппроксимируем ее тригонометрическим рядом Фурье. Этот ряд сходится в каждой точке, но неравномерно, ибо периодическое продолжение разрывно. Если же мы положим то функция у изображенная пунктиром на рис. 11, имеет непрерывное периодическое продолжение, и ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Скорость сходимости ряда при этом также возрастает.

Замечание 3. Алгебраический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения обладает свойством, напоминающим лагранжеву интерполяцию: разность на интервале имеет не менее нуля.

Рис. 11.

Рис. 12.

В самом деле, предположим обратное: нули этой разности суть , где . Составим многочлен

тогда произведение не меняет знак, следовательно,

Но если в (38) положить , то квадратные скобки в сумме должны обратиться в нуль. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.