2. Схемы бегущего счета.

Эти схемы предназначены для решения смешанной задачи Коши (3), (5). Они легко обобщаются на случай любого числа измерений. Схемы бегущего счета являются наиболее простыми и позволяют численно решать даже очень сложные задачи переноса с хорошей точностью при умеренном объеме вычислений.

Рассмотрим задачу (3), (5) и построим в области прямоугольную сетку, для простоты равномерную с шагами

Выберем четыре шаблона, изображенные на рис. 56 — 59. Составим на трехточечных шаблонах (рис. 56 — 58) простейшие схемы с использованием односторонних производных:

а на четырехточечном шаблоне (рис. 59) — схему с симметризованными производными:

Правую часть мы для определенности выбираем в центре ячейки, соответствующей шаблону, хотя возможен и другой выбор.

Рис. 56.

Рис. 57.

Рис. 58.

Рис. 59.

Организация расчета по этим схемам очень проста. Хотя формально схема (9) является явной, а остальные три — неявными, фактически при расчете сметанной задачи Коши они ведут себя, как явные.

В самом деле, во всех четырех схемах значение явно выражается через значения (или любые два из них). Значение решения на нулевом слое известно из начального условия. На следующем (первом) слое значение в силу граничного условия, и можно вычислить зная можно вычислить затем . Так последовательно вычисляются слева направо все первого хлоя. Затем, зная решение на первом слое, точно так же вычисляем его на втором слое, на третьем и т. д.

Замечание 1. Явная схема (9) пригодна для решения задачи Коши на полубесконечной (или бесконечной) прямой; неявные схемы бегущего счета к такой задаче неприменимы. Правда, в практике численных расчетов задача Коши для уравнения переноса в неограниченной области почти не встречается.

Из описанного алгоритма видно, что для каждой из схем (9)-(12) разностное решение при любых существует и единственно. Поэтому для доказательства сходимости остается исследовать аппроксимацию и устойчивость схем. Заметим, что краевое условие и для всех схем аппроксимируется точно; поэтому устойчивости по нему не требуется.

Схема (9). Исследуем ее погрешность аппроксимации. Пусть начальные и граничные данные дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условиям согласования типа (6) с , а правая часть имеет непрерывные первые производные. Тогда решение и дважды непрерывно дифференцируемо; разложим его по формуле Тейлора в узле

Отсюда легко определим невязку схемы (9):

(13)

При сделанных предположениях схема (9) имеет аппроксимацию, в с первым порядком.

Устойчивость исследуем при помощи принципа максимума. Критерий равномерной устойчивости по начальным данным (9.53) с константой принимает вид

Он выполняется только при так называемом условии Куранта:

Таким образом, схема (9) является условно устойчивой в

Методом разделения переменных можно доказать необходимость условия (14). Рассматривая отдельную гармонику и подставляя в (9) величины

легко получим множитель роста этой гармоники:

Если то для тех гармоник, у которых множитель роста равен

т. е. амплитуды этих гармоник неограниченно нарастают при . Устойчивости нет, что и требовалось доказать.

Непосредственно видно, что дополнительное условие устойчивости по правой части (9.54) выполняется, причем Поэтому схема устойчива по правой части в при выполнении условия (14).

Тогда из теорем о сходимости следует, что если решение и непрерывно вместе со своими вторыми производными, то схема (9) при выполнении условия Куранта (14) сходится в со скоростью , т. е. с первым порядком точности.

Схема (10) исследуется аналогично; при исследовании аппроксимации разложение по формуле Тейлора удобнее вести, около узла На дважды непрерывно дифференцируемых решениях эта схема при выполнении условия устойчивости

обеспечивает сходимость со скоростью

Схема (11) безусловно устойчива и на дважды непрерывно дифференцируемых решениях сходится со скоростью

Схема (12) симметричная, и при исследовании ее аппроксимации целесообразно разлагать и по формуле Тейлора около центра ячейки — Тогда после довольно громоздких выкладок определяем невязку:

Схема имеет второй порядок аппроксимации, если решение и трижды непрерывно дифференцируемо.

Устойчивость схемы (12) при помощи принципа максимума установить не удается. Однако можно провести исследование методом разделения переменных. Для гармоники нетрудно получить выражение для множителя роста. Полагая в (12)

найдем

Отсюда видно, что для любой гармоники при любых соотношениях шагов. Следовательно, схема равномерно устойчива по начальным данным в , причем устойчивость безусловная.

Дополнительный критерий устойчивости по правой части (9.54) после умножения на принимает для схемы (12) следующий вид:

Убедимся, что для это неравенство выполняется при любых . В самом деле, если , то левая часть неравенства равна 2. Если же , то левая часть неравенства равна . Поскольку критерий выполнен, то схема безусловно устойчива по правой части.

Из сказанного выше следует, что на трижды непрерывно дифференцируемых решениях схема (12) безусловно сходится в норме со скоростью . Судя по результатам численных расчетов, схема обеспечивает второй порядок точности и в .

Замечание 2. Схемы бегущего счета сходятся на решениях меньшей гладкости и даже на разрывных решениях (разумеется, не равномерно, а в среднем). Например, теоретический анализ и примеры численных расчетов [65, 66] показали, что схема (11) сходится на кусочно-непрерывных решениях в , с погрешностью Любопытно, что порядок точности оказался не целым!

Замечание 3. Схемы бегущего счета очевидным образом обобщаются на случай неравномерной сетки. Например, схему (9) можно записать следующим образом:

Критерии устойчивости (14) и (16) принимают при этом соответственно вид:

Интересно сравнить схемы между собой. Схема (12) имеет второй порядок точности и на достаточно гладких решениях при не слишком больших шагах и h дает лучшие результаты на примерах-тестах. Но на разрывных решениях или для быстропеременных решений на грубой сетке она оказывается плохой; в этих случаях удовлетворительные результаты дают схемы (9) — (11).

Схемы (9) — (11) имеют первый порядок точности. Первые две из них условно устойчивы, что неудобно при Численных расчетах. Схема (11) безусловно устойчива и очень надежна в расчете; однако по точности она уступает схемам (9) и (10), в чем нетрудно убедиться, сравнив невязки этих схем.

Дальше мы увидим, что схемы (9) и (10) можно объединить в единую явно-неявную схему, безусловно устойчивую и превосходящую схему (11) по точности.