2. Нахождение равномерного приближения.

Для функции, заданной на отрезке , не найдено способа определения коэффициентов наилучшего равномерного приближения за конечное число действий. Рассмотрим простой итерационный процесс нахождения коэффициентов.

Чебышевскую норму можно рассматривать как предел при и единичном весе. В пространстве задачу нахождения наилучшего приближения удобно решать итерированием веса:

для начала итерационного процесса можно положить Если является обобщенным многочленом, то на каждой итерации задача на минимум опять сводится к решению системы линейных (относительно коэффициентов ) уравнений. Для решения полной задачи надо выбрать последовательность , для каждого фиксированного провести итерации (59) о сходимости, а затем в коэффициентах произвести предельный переход при (т. е. оценить, начиная с какого коэффициенты перестают меняться в пределах заданной точности при дальнейшем, увеличении ).

Двойной предельный переход требует больших численных расчетов. Поэтому целесообразно объединить предельные переходы . Для этого на первой итерации по s положим на второй возьмем на третьей — и т. д.

Вместо (59) получим следующую задачу:

Здесь начальное условие для итераций получается естественно при . Этот итерационный процесс не исследован теоретически и мало опробован в практических расчетах, но поскольку обычно коэффициенты аппроксимации слабо зависят от выбора веса, то следует ожидать быстрой сходимости процесса.