8. Квазилинейное уравнение.

Значительную трудность для численных расчетов представляет случай квазилинейного уравнения теплопроводности, которое мы запишем, для определенности, в плоском случае:

1) В таких задачах коэффициент теплопроводности нередко сильно зависит от температуры и при высоких температурах может стать очень большим. Поэтому явные схемы для уравнения (49) совершенно непригодны из-за сильного ограничения на шаг, и расчет надо вести по безусловно устойчивым неявным схемам с весом

2) У квазилинейного уравнения теплопроводности существуют решения производные которых обращаются в отдельных точках в бесконечность. Примером такого решения является рассмотренная в главе IX бегущая тепловая волна (9.12), у которой на фронте Такие решения близки к разрывным, и при их расчете по немонотонным, хотя и устойчивым схемам легко возникает «разболтка», т. е. пилообразные профили.

Поэтому для численного решения уравнения (49) удобно использовать чисто неявные схемы с весом которые устойчивы и монотонны при любых шагах. Рассмотрим (ограничиваясь для простоты записи равномерной сеткой) два варианта таких схем, которые будем называть линейным:

и нелинейным:

Здесь и определяется формулами типа (35а), например:

или

аналогично определяется

Можно показать, что обе схемы абсолютно устойчивы, консервативны, монотонны и на четырежды непрерывно дифференцируемых решениях имеют погрешность аппроксимации Сравним эти схемы между собой.

Линейный вариант (50) проще. Мы называем его линейным, ибо зависит только от решения у с известного слоя; поэтому уравнения (50) содержат линейно. Из линейности и преобладания диагональных элементов матрицы следует существование и единственность разностного решения . Это решение вычисляется прогонкой, так что формулы расчета просты и легко программируются на ЭВМ.

Нелинейный вариант (51) содержит дополнительную зависимость от значения у на новом слое, благодаря чему алгебраическая система (51) нелинейна относительно . Очевидно, если , поэтому при достаточно малом существует вещественное решение системы (51). Но при большом система (51) может и не иметь вещественного решения.

Вычислять решение системы (51) можно двумя способами. Первый способ — метод последовательных приближений, в котором значения к и берутся с предыдущей итерации:

(в качестве нулевого приближения здесь, естественно, берутся значения с известного слоя). Величины находятся из (52) прогонкой. Итерации (52) сходятся линейно и обычно не быстро; они могут и расходиться. В последнем случае можно вести расчет с фиксированным числом итераций, обычно с двумя или тремя итерациями. Отметим, что при одной итерации (52) нелинейная схема (51) совпадает с линейным вариантом (50).

Сложней, но заметно эффективней второй способ решения системы (51) — метод Ньютона. Учитывая,что , подставим в уравнения (51)

Проводя линеаризацию, получим довольно громоздкие уравнения, линейные и трехточечные относительно

индекс итерации s в основном уравнении опущен. На каждой итерации уравнения (53) решают прогонкой. Полученный итерационный процесс сходится, если шаг не слишком велик, причем вблизи корня сходимость квадратична. Если сходимость недостаточно быстрая (число итераций превышает 5—10), то целесообразнее не ограничивать число итераций, а уменьшать шаг т.

Практика численных расчетов показала, что фактическая точность расчета по нелинейной схеме (51) обычно существенно лучше, чем по линейному варианту (50). Это позволяет вести расчет более крупным шагом , так что объем вычислений, требующийся для достижения заданной точности, получается меньше. Поэтому нелинейная схема (51), несмотря на свою сложность, выгоднее линейного варианта (50), особенно при решении больших задач.

Включение точки. В квазилинейных задачах возможно обращение в нуль при достаточно малых значениях температуры . Наиболее типичным является случай когда при . При этом надо обращать особое внимание на выбор формулы типа (35а) для вычисления и. Например, полагать

или

нельзя: если в точке начальная температура то в примыкающих к этой точке интервалах и тепло в эту точку никогда не проникнет (точка «не включится»).

Поэтому надо выбирать такую формулу вычисления чтобы выполнялось если хотя бы в некоторой части отрезка Этому условию удовлетворяют, например, формулы

или

При дважды непрерывно дифференцируемом коэффициенте теплопроводности на произвольных сетках, а при кусочно-непрерывном коэффициенте с кусочно-непрерывными вторыми производными на специальных сетках они имеют аппроксимацию .