§ 2. Аппроксимация

1. Сетка и шаблон.

Для большинства разностных схем узлы сетки лежат на пересечении некоторых прямых линий (в многомерных задачах — гиперплоскостей), проведенных либо в естественной системе координат, либо в специально подобранной по форме области

Рис. 48.

Для двумерных задач в прямоугольной области G наиболее часто употребляют прямоугольную сетку (см. рис. 46), которую мы ввели при составлении схем (16) и (18). Заметно реже используют треугольную (рис. 48) или шестиугольную сетку. Для трехмерных задач наиболее употребительна сетка из прямоугольных параллелепипедов (рис. 49); другие виды сеток, например из прямоугольных трехгранных призм (рис. 50), используются редко.

Существуют некоторые разностные схемы, например, для задач двумерной и трехмерной газодинамики, где узлы сетки расположены неупорядоченно. Но такие схемы сколько-нибудь заметного распространения не получили.

Если одна из переменных имеет физический смысл времени t, то сетку обычно строят так, чтобы среди ее линий (или гиперплоскостей) были линии Совокупность узлов сетки, лежащих на такой линии или гиперплоскости, называют слоем.

Рис. 49.

Рис. 50.

На каждом слое выделяют направления — линии, вдоль которых меняется только одна пространственная координата. Например, для переменных есть направление ) и направление ).

Если область имеет форму прямоугольника, то часть узлов прямоугольной сетки естественно ложится на границу области (см. рис. 46); эти узлы называются граничными, а остальные узлы — внутренними. Начальные и краевые условия, наложенные на решение на границе можно в этом случае считать заданными в граничных узлах сетки.

Именно так было сделано при выводе соотношений (17) в примере из § 1, п. 4.

В случае двух пространственных переменных х, у граница области G(x, у) нередко бывает ломаной линией. Для таких областей всегда можно ввести такую треугольную сетку, чтобы естественные узлы сетки (пересечения линий сетки) легли на границу (см. рис. 48). Иногда удается добиться этого, используя прямоугольную сетку.

Рис. 51.

Если граница Г (G) криволинейная, то естественные узлы сетки на границу могут не попадать (рис. 51). В этом случае можно взять точки пересечения линий сетки с границей в качестве дополнительных узлов; тогда краевые условия следует задавать в этих узлах. Можно сделать иначе: границу приближенно заменить ломаной, проходящей через ближайшие к границе естественные узлы (жирная линия на рис. 51); тогда краевые условия, заданные на T(G), надо каким-либо образом перенести на эту ломаную.

Если область G является крутом (кольцом), цилиндром или шаром, то часто переходят к системам координат, связанных с видом области: полярным, цилиндрическим или сферическим. Если в таких координатах ввести прямоугольную сетку, то естественные узлы сетки лягут на границу. Иногда для построения хорошей сетки в областях сложной формы прибегают к конформному отображению на -квадрат, в котором введена прямоугольная сетка.

Составляя разностные схемы (16) и (18), мы использовали во всех внутренних точках области однотипную разностную аппроксимацию производных. Иными словами, при написании каждого разностного уравнения около некоторого узла сетки бралось одно и то же количество узлов, образующее строго определенную конфигурацию. Эту конфигурацию узлов называют шаблоном данной разностной схемы (см. рис. 47).

Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называются регулярными, а остальные узлы — нерегулярными. Нерегулярными являются обычно граничные узлы, а иногда также лежащие вблизи границы узлы (такие, что взятый около этого узла шаблон выходит за границу области). Так, в примере из § 1, п. 4 нерегулярными были граничные узлы, и в них разностная схема имела нестандартную форму (17).

Составление разностной схемы начинается с выбора шаблона. Шаблон не всегда определяет разностную схему однозначно, но существенно влияет на ее свойства; например, далее мы увидим, что на шаблоне рис. 47, б нельзя составить хорошей схемы для задачи (15).

Для каждого типа уравнений, и краевых задач требуется свой шаблон. В следующих главах сформулированы (на основе свойств решаемых уравнений) некоторые общие соображения, которые позволяют подбирать шаблоны, пригодные для построения хороших разностных схем.

Существуют разностные схемы, вообще не имеющие шаблона (пример такой схемы будет приведен в главе X). Но логическая структура таких схем сложна, что вызывает заметное увеличение объема программ и времени счета на ЭВМ. Поэтому такие схемы мало употребительны.