4. Уменьшение дисперсии.

Точность метода статистических испытаний можно увеличить, выбирая специальную случайную величину. Обозначим тогда исходный интеграл примет вид Положим где функция и нормирована на единицу, так что ее можно считать плотностью распределения некоторой случайной величины. Как надо выбрать чтобы сделать вычисления наиболее точными, т. е. дисперсию результата — минимальной?

В дисперсии отдельного испытания (56) последнее слагаемое равно квадрату искомого интеграла и тем самым не зависит от выбора . Значит, надо требовать

Добавляя условие нормировки плотности, перепишем эту задачу следующим образом:

Приравняем нулю вариационные производные по плотности

Очевидно, для равенства вариационных производных нулю необходимо и достаточно, чтобы , или . При этом дисперсия не только минимальна, но даже равна нулю, если знакопостоянно. В самом деле, тогда и даже одно испытание сразу даст точный результат.

Конечно, на практике взять не удается. Для разыгрывания случайной величины с такой плотностью необходимо решить уравнение

т. е. вычислить искомый интеграл, да еще с переменным верхним пределом! Поэтому обычно подбирают так, чтобы

просто вычислялся, а само было по возможности ближе к .

Смысл увеличения точности нетрудно понять. Если , то почти постоянна и все отдельные испытания дают близкие результаты.

Пример. Вычислим

Положим где константу определим из условия нормировки. Случайную величину с такой плотностью разыграем по формуле

Здесь удобнее считать переменным нижний предел интегрирования, что также допустимо. Теперь легко получаем

Приемы уменьшения дисперсии позволяют уменьшать объем вычислений; они широко применяются не только при вычислении интегралов. Например, Бюффон заметил, что можно определить число бросая иглу на сетку параллельных линий и регистрируя процент случаев, когда игла пересекается с линией (рис. 22).

Но для получения трех верных знаков требуется примерно испытаний. Оказывается, если брать скрепленные крестом иголки, то для той же точности надо в 25 раз меньше испытаний, а три скрепленные снежинкой иголки дают экономию в 135 раз.

Замечание. Нередко подынтегральная функция имеет на разных участках существенно разное поведение, и ввести хороший единый вес на всем отрезке интегрирования не удается. Тогда выгодно представить интеграл в виде суммы интегралов по отдельным участкам и вычислять каждый из них со своим весом. Это уменьшает дисперсию результата.