7. Диссипативные схемы.

Когда устойчивость линейных разностных схем исследуется методом разделения переменных, то для каждой гармоники определяют ее множитель роста при переходе со слоя на слой. Отметим, что число пробных гармоник не бесконечно. Поскольку рассматривается разностная, т. е. дискретная, задача Фурье на сетке , то надо использовать только гармоники образующие полную систему по отношению к функциям, периодическим на этой сетке.

Схема устойчива, если

где — не зависящие от h константы. Если хотя бы у одной гармоники то устойчивость слабая. Если для всех гармоник а с , то схема заведомо хорошо обусловлена; но это требование слишком жесткое, и ему удовлетворяет очень мало схем. Рассмотрим более мягкое требование, также обеспечивающее хорошую обусловленность.

Схема обладает аппроксимационной вязкостью, если при и

Это требование реализуется у многих схем. Например, схема (9) имеет множитель роста (15), который с учетом замечания об ограниченности числа гармоник принимает вид

Легко проверить, что если , то при , то для всех гармоник . При большинство гармоник неограниченно растет. Таким образом, схема (9) обладает аппроксимационной вязкостью при это условие почти совпадает с условием устойчивости.

Аналогично доказывается, что схема (10) обладает аппроксимационной вязкостью при , а схема (11) — при любом соотношении шагов

У схемы второго порядка точности (12) множитель роста (18) таков, что для всех гармоник. Следовательно, схема (12) не обладает аппроксимационной вязкостью.

При наличии аппроксимационной вязкости гармоники с q Ф О затухают, напоминая тем самым точное решение (9.7а) параболического уравнения. В точном решении параболического уравнения разрывы начальных данных сглаживаются со временем. Из рис. 68 было видно, что расчет по схеме с аппроксимационной вязкостью (11) приводит к аналогичному сглаживанию разрыва начальных данных, а расчет по схеме без аппроксимационной вязкости (12) — нет.

Понятие аппроксимационной вязкости применимо к линейным схемам. Для произвольных разностных схем, как линейных, так и нелинейных, можно ввести понятие первого дифференциального приближения.

Пусть дифференциальное уравнение имеет решение, у которого непрерывны производные достаточно высокого порядка, и составлена разностная схема порядка аппроксимации р. Невязка этой схемы выражается через некоторые производные от решения и ее можно представить в следующем виде:

где В — некоторый дифференциальный оператор (обычно оператор В содержит производные, порядок которых на превышает порядок старших производных дифференциального оператора ). Запишем равенство (40) двумя способами:

Это означает, что разностная схема аппроксимирует дифференциальное уравнение с порядком и аппроксимирует уравнение с порядком выше .

Первым дифференциальным приближением разностной схемы называют уравнение

Разностная схема аппроксимирует свое первое дифференциальное приближение более точно, чем исходное уравнение. Поэтому следует ожидать, что свойства разностного решения будут во многом напоминать свойства точных решений уравнения (41).

Пусть уравнение (41) является диссипативным, т. е. описывает какой-либо физический процесс с затуханием: теплопроводность (это сильное затухание), колебания в вязкой среде (слабое затухание) и т. д. Такие процессы приводят к более или менее быстрому сглаживанию разрывов начальных данных.

Обычно в этих случаях разностное решение тоже имеет сглаженный вид.

Наоборот, если уравнение (41) является недиссипативным, например чисто колебательным, то разрывы его решений не сглаживаются. В разностном решении при этом легко возникает слабо затухающая (или совсем не затухающая) «разболтка».

Примеры. Рассмотрим однородную разностную схему (9), полагая . Ее невязка (13) принимает вид Учитывая, что для однородного уравнения переноса (3) выполняется условие преобразуем невязку к виду . Отсюда легко получить первое дифференциальное приближение разностной схемы (9):

Если то уравнение (42) относится к параболическому типу. Действительно, выше было показано, что расчет по разностной схеме (9) приводит к сглаживанию разрывов (если ).

Случай для уравнения (42) соответствует обратной задаче теплопроводности, которая относится к некорректно поставленным задачам. С этим обстоятельством связана неустойчивость схемы (9) при нарушении условия Куранта.

Рассмотрим однородную разностную схему (12). Если учесть, что для однородного уравнения переноса выполняется соотношение

то главный член невязки (17) этой схемы принимает вид Следовательно, ее первым дифференциальным приближением является уравнение

которое не содержит диссипативных членов. Действительно, из рис. 68 было видно, что схема (12) не сглаживает разрывы решения.

Если разностная схема обладает аппроксимационной вязкостью или ее первое дифференциальное приближение является уравнением с диссипативными членами, то схему называют диссипативной. Обычно в расчетах по таким схемам разболтки не возникает или она невелика; поэтому понятие диссипативности плодотворно используется при качественном анализе разностных схем. Однако это понятие не является строгим, и полученные при его помощи выводы надо проверять другими методами.